概要
こちらはフェルマーの小定理について、具体例を含めて初学者が理解しやすいように解説したチュートリアルです。その後、この定理は暗号理論、特に楕円曲線理論、ブロックチェーンと密接に関係しています。
フェルマーの小定理の基本
フェルマーの小定理は、素数と剰余の間にある美しい関係を示す定理です。次のように表されます。
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
ただし、aは0でない整数、pは素数です。
フェルマーの小定理の証明
証明は初学者にとって少々難しく感じるかもしれませんが、丁寧に説明します。
1. pを素数、aを0 < a < pを満たす任意の整数とします。これらの数により以下の数列を定義します：
a, 2a, 3a, ..., (p-1)a
これらの数列のすべての要素をpで割った余りを考えます。ここでaがp未満の任意の整数であるため、これらの余りは一意であり、かつ1からp-1までの全ての整数を一度ずつ取ります。
2. それぞれの項に対して剰余を考えると、上記の数列は次のように書き換えることができます：
1, 2, 3, ..., p-1
3. それぞれの数列の全ての要素の積を考えます。これをapとpとします。すると、剰余を考えた場合、これらの積は同じ剰余を持ちます：
(a * 2a * 3a * ... * (p-1)a) ≡ 1 * 2 * 3 * ... * (p-1) (mod p)
4. この等式の両側を(p-1)!（これは(p-1)の階乗を意味します）で割ります：
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
これがフェルマーの小定理の証明になります。
Pythonによる実装
Pythonを使用して、フェルマーの小定理を検証するコードを記述します。
def fermat_little_theorem(a, p):
return pow(a, p - 1, p) == 1
print(fermat_little_theorem(2, 5)) # True
print(fermat_little_theorem(3, 7)) # True
print(fermat_little_theorem(4, 9)) # False (9は素数ではない)
上記の証明は一般的なフェルマーの小定理の直感的な理解を助けるためのもので、一部の手順が省略されているため完全な数学的証明とは言えません。完全な証明は群論や漸近解析など高度な数学の知識を必要としますが、ここでは初学者にとって理解しやすいように、直感的な説明を行っています。
それでは、次に、Pythonを使って指定された表を作成しましょう。この表は、modが7で、nが0から7まで変化するときのnの累乗（n^1からn^7まで）を表示します。
Pythonコード：
import pandas as pd
# 剰余を計算するためのモジュラス（7）
modulus = 7
# データフレームを用意し、その列インデックスを0から7までの基数にします
df = pd.DataFrame(columns=range(8))
# 各指数（1から7まで）について
for exp in range(1, 8):
# 各基数（0から7まで）について
row = []
for n in range(8):
# 基数を指数で累乗し、その値をモジュラスで割った余りを計算します
row.append((n ** exp) % modulus)
# それぞれの行をデータフレームに追加します
df.loc['n^' + str(exp)] = row
print(df) # データフレームを出力します
このコードを実行すると、出力される表は以下のようになります：
0 1 2 3 4 5 6 7
n^1 0 1 2 3 4 5 6 0
n^2 0 1 4 2 2 4 1 0
n^3 0 1 1 6 1 1 6 0
n^4 0 1 2 4 4 2 1 0
n^5 0 1 4 5 2 3 1 0
n^6 0 1 1 1 1 1 1 0
n^7 0 1 2 3 4 5 6 0
暗号理論、楕円曲線理論、ブロックチェーンとの関連
フェルマーの小定理は、公開鍵暗号や楕円曲線暗号において重要な役割を果たします。それらのアルゴリズムは数論に基づいており、フェルマーの小定理はその基礎となる定理の一つです。
また、ブロックチェーン技術の中核に位置するビットコインもまた、そのトランザクションの検証と保証に楕円曲線暗号を使用しています。楕円曲線暗号は数論に深く根ざしており、フェルマーの小定理はその理解のために不可欠な概念となります.