0. はじめに
ビリヤード（というか魔円陣）の問題の解法の謎については参考文献[1]が大変参考になった。その文献では有限体の射影平面については多くのページを割いて詳しく説明しているが，もう一方のほうの参考文献[2]にて登場する巡回平面という言葉は一つも出て来ない。ビリヤード問題（魔円陣）との対応については，むしろ巡回平面のほうを詳しく理解したほうが良いのではないかと考えた。
この記事は数学の非専門家がたぶんこういうことだろうと想像して書いたサイエンスフィクションです。過度な信用はしないで下さい。
1. 有限体の巡回平面とは何か？
自然数 $n \ge 2$ に対して三次元空間に一片の長さ $n - 1$ の立方体を置く。とりあえず頂点の一つを原点に置こう。各頂点を含めて立方体の表面および内部に間隔１で格子点を置く。格子点の数は $n^3$ 個になる。
原点の番号を⓪とし，それ以外の格子点に番号①②③…と割り振っていく。
立方体の各表面上にはそれぞれ $n^2$ 個の点がある。このうち原点を含む一つの表面上の点を選び，割り振った番号を $a,\ b,\ c, \cdots$ とおく。
次に原点以外の割り振った番号を一つずつ増やしていく。番号が $n^3 - 1$ を越えたら①に戻るものとする。こうして作られた点の集合から原点を通る平面が定義される。ただし，点が四個以上あるので必ずしも平面が作られる保証はない。ただし，格子点の番号付けを適切に行えば，これらの点は必ず原点を通る平面を構成し，すべての（原点を通る）平面を巡回していくらしい。こうした性質のものを巡回平面と呼ぶようだ。いや，この記事ではそういう定義にしよう。
| 平面 | 点の集合 |
|---|---|
| $m_0$ | $⓪,\ a,\ b,\ c, \cdots$ |
| $m_1$ | $⓪,\ a + 1,\ b + 1,\ c + 1,\ \cdots$ |
| $m_2$ | $⓪,\ a + 2,\ b + 2,\ c + 2,\ \cdots$ |
| $m_3$ | $⓪,\ a + 3,\ b + 2,\ c + 3,\ \cdots$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ |
2. 巡回平面の作り方
一番簡単な $n = 2$ の場合を考える。有限体 $\mathbb{F}_2$ 上で既約な三次多項式 $f(x) = x^3 + x + 1$ を選ぶ。$f(x) = 0$ の解を $\alpha$ とおく。次に $\alpha^i$ を計算していく。$\alpha^3 = \alpha + 1$ となることを利用すると $\alpha^i$ は $\alpha$ の二次式以下で表すことができ，周期７で元に戻る。
\begin{aligned}
\alpha^0 &= 1 \\
\alpha^1 &= \alpha \\
\alpha^2 &= \alpha^2 \\
\alpha^3 &= 1 + \alpha \\
\alpha^4 &= \alpha + \alpha^2 \\
\alpha^5 &= 1 + \alpha + \alpha^2 \\
\alpha^6 &= 1 + \alpha^2 \\
\alpha^7 &= 1 \\
\end{aligned}
$\alpha^i = x + \alpha y + \alpha^2 z$ と置き，$\alpha^0$ から順に①②③…と番号を割り振っていくと各格子点の座標は以下のようになる。
| 点 | $\alpha^i$ | $(x,y,z)$ |
|---|---|---|
| ① | $\alpha^0$ | (1,0,0) |
| ② | $\alpha^1$ | (0,1,0) |
| ③ | $\alpha^2$ | (0,0,1) |
| ④ | $\alpha^3$ | (1,1,0) |
| ⑤ | $\alpha^4$ | (0,1,1) |
| ⑥ | $\alpha^5$ | (1,1,1) |
| ⑦ | $\alpha^6$ | (1,0,1) |
割り振った番号の配置を以下に示す。
3. それでは実際に巡回してみよう
それでは順番に確認していこう。スタート地点は $z = 0$ 平面とする。この平面に属している格子点は⓪①②④の四点であり，以降，原点⓪以外の格子点の番号を一つずつ増やしながら四点が同一平面上に存在することを確認していくのだ。
よく見ると図４だけ点④を通っていないように見えるかもしれない。説明するのを忘れていたが，これは有限体の空間であり，$n = 2$ であるから $2 \equiv 0 \pmod 2$ となり，空間自体が周期性を持っていると考えると点④を無事通る。
を を を ！ 確 か に 巡 回 し て る ！ 凄 い ！
4. 念のためもう一つ確かめる
次は $n = 3$ に挑戦する。$\mathbb{F}_3$ 上の三次既約多項式 $f(x) = x^3 + 2x + 1$ とし，$f(x) = 0$ の解を $\alpha$ とおく。次に $\alpha^i$ を計算していく。$\alpha^3 = \alpha + 2$ となることを利用すると $\alpha^i$ は $\alpha$ の二次式以下で表すことができ，周期２６で元に戻る。
\begin{aligned}
\alpha^0 &= 1 & \alpha^{13} &= 2 & \alpha^{26} = 1\\
\alpha^1 &= \alpha & \alpha^{14} &= 2 \alpha \\
\alpha^2 &= \alpha^2 & \alpha^{15} &= 2 \alpha^2 \\
\alpha^3 &= 2 + \alpha & \alpha^{16} &= 1 + 2 \alpha \\
\alpha^4 &= 2 \alpha + \alpha^2 & \alpha^{17} &= \alpha + 2 \alpha^2 \\
\alpha^5 &= 2 + \alpha + 2 \alpha^2 & \alpha^{18} &= 1 + 2\alpha + \alpha^2 \\
\alpha^6 &= 1 + \alpha + \alpha^2 & \alpha^{19} &= 2 + 2 \alpha + 2 \alpha^2 \\
\alpha^7 &= 2 + 2 \alpha + \alpha^2 & \alpha^{20} &= 1 + \alpha + 2 \alpha^2 \\
\alpha^8 &= 2 + 2 \alpha^2 & \alpha^{21} &= 1 + \alpha^2 \\
\alpha^9 &= 1 + \alpha & \alpha^{22} &= 2 + 2 \alpha \\
\alpha^{10} &= \alpha + \alpha^2 & \alpha^{23} &= 2 \alpha + 2 \alpha^2 \\
\alpha^{11} &= 2 + \alpha + \alpha^2 & \alpha^{24} &= 1 + 2\alpha + 2 \alpha^2 \\
\alpha^{12} &= 2 + \alpha^2 & \alpha^{25} &= 1 + 2 \alpha^2 \\
\end{aligned}
$\alpha^i = x + \alpha y + \alpha^2 z$ と置き，$\alpha^0$ から順に①②③…と番号を割り振っていくと各格子点の座標は以下のようになる。
| 点 | $\alpha^i$ | $(x,y,z)$ | 点 | $\alpha^i$ | $(x,y,z)$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ① | $\alpha^0$ | (1,0,0) | ⑭ | $\alpha^{13}$ | (2,0,0) | |
| ② | $\alpha^1$ | (0,1,0) | ⑮ | $\alpha^{14}$ | (0,2,0) | |
| ③ | $\alpha^2$ | (0,0,1) | ⑯ | $\alpha^{15}$ | (0,0,2) | |
| ④ | $\alpha^3$ | (2,1,0) | ⑰ | $\alpha^{16}$ | (1,2,0) | |
| ⑤ | $\alpha^4$ | (0,2,1) | ⑱ | $\alpha^{17}$ | (0,1,2) | |
| ⑥ | $\alpha^5$ | (2,1,2) | ⑲ | $\alpha^{18}$ | (1,2,1) | |
| ⑦ | $\alpha^6$ | (1,1,1) | ⑳ | $\alpha^{19}$ | (2,2,2) | |
| ⑧ | $\alpha^7$ | (2,2,1) | ㉑ | $\alpha^{20}$ | (1,1,2) | |
| ⑨ | $\alpha^8$ | (2,0,2) | ㉒ | $\alpha^{21}$ | (1,0,1) | |
| ⑩ | $\alpha^9$ | (1,1,0) | ㉓ | $\alpha^{22}$ | (2,2,0) | |
| ⑪ | $\alpha^{10}$ | (0,1,1) | ㉔ | $\alpha^{23}$ | (0,2,2) | |
| ⑫ | $\alpha^{11}$ | (2,1,1) | ㉕ | $\alpha^{24}$ | (1,2,2) | |
| ⑬ | $\alpha^{12}$ | (2,0,1) | ㉖ | $\alpha^{25}$ | (1,0,2) |
割り振った番号の配置を示す。
5. もう一回巡回してみよう
それでは順に確認していこう。今度もスタート地点は $z = 0$ 平面とする。この平面に属している格子点は９点であり，以降，原点⓪以外の格子点の番号を一つずつ増やしながら９点が同一平面上に存在することを確認していくのだ。
図２－４は図の立方体内では平面が点⓪と点⑳を通過しておらず，正しくは下図のように上下に飛び出して通過する。
い や コ レ 最 初 に 発 見 し た 人 凄 い わ ！
ちなみに，この巡回平面自体は周期１３で一回りするようだ。
$n = 2$ の場合，原点を除く格子点の数は７個，巡回平面も７個と一致しているが，$n = 3$ の場合，原点を除く格子点の数は２６個，巡回平面は１３個と半分の値になっている。図２－０をよく見ると格子点①～⑬に対して格子点⑬～㉖はすべて１３だけ番号の異なる格子点と同一の巡回平面上にある。さらに言えば原点を通る同一直線上にある。これは非常に簡単な理屈であり，$\alpha^{13} = 2$ であるから $\alpha^{i + 13} = 2 \alpha^i$ となり，１３だけ前の格子点の２倍の値になるからだ。
巡回平面を定義するには前半の１３個の格子点だけで十分であり，これらを基本格子点と呼ぶことにしよう。立方体の一辺にある格子点の数 $n$（立方体の一辺の長さ $n - 1$）とおくと，原点を除く格子点の数 $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ と因数分解され，基本格子点＝巡回平面の数は $n^2 + n + 1$ となる。同様に各平面上に原点を除く格子点の数 $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$ と因数分解され，各巡回平面上に存在する基本格子点の数は $n + 1$ 個となる。
二つの巡回平面は原点を含めて $n$ 個の点を共有していることが分かる。お互い原点を通る平面なのだから，それらの交差点の集合は原点を通る直線になるのは当たり前である。このうち原点を除くと $n - 1$ 個の点，基本格子点のみに絞ると唯一つの点を共有する。これが巡回平面の重要な特性の一つであり，構成要件としよう。
6. ビリヤード問題の解が巡回平面になるという証明
たとえば五つの玉のビリヤード問題の解を $a, b, c, d, e$ としたとき以下の数列は巡回平面の基本格子点になるというのだ。ホンマか？
0, a, a + b, a + b + c, a + b + c + d
ここで $0$ は原点ではない。$n = 5$ であるから基本格子点の数 $n^2 + n + 1 = 21$ 個であり，インデクスをつけると０～２０となる基本格子点の０番目のことを意味する。
解はすでに分かっているので実際に試してみよう。$(a,b,c,d,e)=(1,3,10,2,5)$ だから数列は $(0,1,4,14,16)$ となる。これらを平面 $m_0$ の基本格子点とし，こららの数列に自然数 $k$ を加えたものを平面 $m_k$ の基本格子点とする。基本格子点の数が２１以上になったら２１を差し引く。すなわち２１で割った剰余とする。
以下，平面 $m_k$ と平面 $m_0$ との共有点を赤色で示す。
| 平面 | 基本格子点 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| $m_0$ | 0 | 1 | 4 | 14 | 16 |
| $m_1$ | 1 | 2 | 5 | 15 | 17 |
| $m_2$ | 2 | 3 | 6 | 16 | 18 |
| $m_3$ | 3 | 4 | 7 | 17 | 19 |
| $m_4$ | 4 | 5 | 8 | 18 | 20 |
| $m_5$ | 5 | 6 | 9 | 19 | 0 |
| $m_6$ | 6 | 7 | 10 | 20 | 1 |
| $m_7$ | 7 | 8 | 11 | 0 | 2 |
| $m_8$ | 8 | 9 | 12 | 1 | 3 |
| $m_9$ | 9 | 10 | 13 | 2 | 4 |
| $m_{10}$ | 10 | 11 | 14 | 3 | 5 |
| $m_{11}$ | 11 | 12 | 15 | 4 | 6 |
| $m_{12}$ | 12 | 13 | 16 | 5 | 7 |
| $m_{13}$ | 13 | 14 | 17 | 6 | 8 |
| $m_{14}$ | 14 | 15 | 18 | 7 | 9 |
| $m_{15}$ | 15 | 16 | 19 | 8 | 10 |
| $m_{16}$ | 16 | 17 | 20 | 9 | 11 |
| $m_{17}$ | 17 | 18 | 0 | 10 | 12 |
| $m_{18}$ | 18 | 19 | 1 | 11 | 13 |
| $m_{19}$ | 19 | 20 | 2 | 12 | 14 |
| $m_{20}$ | 20 | 0 | 3 | 13 | 15 |
あわわ！本当にどの平面にも綺麗に一つだけ共有点がある！
また平面 $m_i$ と $m_j$ を比べても一つだけ共有点を持つことを確認できる。
さてそれでは一例として，五つの玉のビリヤード問題の解が巡回平面になるという証明にチャレンジしてみよう。平面 $m_0$ の基本格子点に自然数 $k$ を加えたものを平面 $m_k$ の基本格子点とする。これらが巡回平面になるということを証明するためには，二つの平面がただ一つの共有点を持つことを示せばよい。
| 平面 | 基本格子点 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| $m_0$ | $0$ | $a$ | $a + b$ | $a + b + c$ | $a + b + c + d$ |
| $m_1$ | $1$ | $a + 1$ | $a + b + 1$ | $a + b + c + 1$ | $a + b + c + d + 1$ |
| $m_2$ | $2$ | $a + 2$ | $a + b + 2$ | $a + b + c + 2$ | $a + b + c + d + 2$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $m_k$ | $k$ | $a + k$ | $a + b + k$ | $a + b + c + k$ | $a + b + c + d + k$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $m_{20}$ | $20$ | $a + 20$ | $a + b + 20$ | $a + b + c + 20$ | $a + b + c + d + 20$ |
平面 $m_k$ と平面 $m_0$ の基本格子点の差分を表にすると分かり易い。以下の表は平面 $m_k$ の基本格子点から平面 $m_0$ の基本格子点の番号を差し引いたもので，値が負になりそうな場合は $a + b + c + d + e = 21$ を加えている。なお表記の都合上，プラス記号をコンマ記号で置き換えた。
| 平面 $m_0$ の基本格子点 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $a$ | $a,\!b$ | $a,\!b,\!c$ | $a,\!b,\!c,\!d$ | ||
| 平 面 $m_k$ |
$k$ | $k$ | $b,\!c,\!d,\!e,\!k$ | $c,\!d,\!e,\!k$ | $d,\!e,\!k$ | $e,\!k$ |
| $a,\!k$ | $a,\!k$ | $k$ | $a,\!c,\!d,\!e,\!k$ | $a,\!d,\!e,\!k$ | $a,\!e,\!k$ | |
| $a,\!b,\!k$ | $a,\!b,\!k$ | $b,\!k$ | $k$ | $a,\!b,\!d,\!e,\!k$ | $a,\!b,\!e,\!k$ | |
| $a,\!b,\!c,\!k$ | $a,\!b,\!c,\!k$ | $b,\!c,\!k$ | $c,\!k$ | $k$ | $a,\!b,\!c,\!e,\!k$ | |
| $a,\!b,\!c,\!d,\!k$ | $a,\!b,\!c,\!d,\!k$ | $b,\!c,\!d,\!k$ | $c,\!d,\!k$ | $d,\!k$ | $k$ | |
まず，対角項の５つは $k \ne 0$ であるから非ゼロである。非対角項の２０個については，正しくビリヤード問題の解が得られていれば全て異なる値となる。とくに非対角項は２１で割った剰余，すなわち０～２０のうち $k$ とは異なる２０種類の値を取り得るので必ず一つだけゼロになる項が存在する。すなわち平面 $m_k$ は平面 $m_0$ とただ一つの基本格子点を共有することが示された。
これよりビリヤード問題の解が巡回平面になることが示された。
7. 巡回平面がビリヤード問題の解になるという証明
ここまで来れば割と簡単である。０番目の基本格子点を含む巡回平面 $m_0$ の基本格子点を昇順にソートして
0, a, a + b, a + b + c, a + b + c + d
とする。平面 $m_0$ の基本格子点に自然数 $k$ を加えたものを平面 $m_k$ の基本格子点とする。
| 平面 | 基本格子点 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| $m_0$ | $0$ | $a$ | $a + b$ | $a + b + c$ | $a + b + c + d$ |
| $m_1$ | $1$ | $a + 1$ | $a + b + 1$ | $a + b + c + 1$ | $a + b + c + d + 1$ |
| $m_2$ | $2$ | $a + 2$ | $a + b + 2$ | $a + b + c + 2$ | $a + b + c + d + 2$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $m_k$ | $k$ | $a + k$ | $a + b + k$ | $a + b + c + k$ | $a + b + c + d + k$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $m_{20}$ | $20$ | $a + 20$ | $a + b + 20$ | $a + b + c + 20$ | $a + b + c + d + 20$ |
平面 $m_k$ は平面 $m_0$ とただ一つの共有点を持つので，下記差分表の非対角項のうちゼロになるただ一つの項が存在する。$1 \le k \le 20$ に対して，いずれかの非対角項がただ一つゼロになることから，非対角項２０個はすべて異なる値を持つことになる。これは $a,b,c,d,e$ がビリヤード問題の解となっていることを意味する。
| 平面 $m_0$ の基本格子点 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $a$ | $a,\!b$ | $a,\!b,\!c$ | $a,\!b,\!c,\!d$ | ||
| 平 面 $m_k$ |
$k$ | $k$ | $b,\!c,\!d,\!e,\!k$ | $c,\!d,\!e,\!k$ | $d,\!e,\!k$ | $e,\!k$ |
| $a,\!k$ | $a,\!k$ | $k$ | $a,\!c,\!d,\!e,\!k$ | $a,\!d,\!e,\!k$ | $a,\!e,\!k$ | |
| $a,\!b,\!k$ | $a,\!b,\!k$ | $b,\!k$ | $k$ | $a,\!b,\!d,\!e,\!k$ | $a,\!b,\!e,\!k$ | |
| $a,\!b,\!c,\!k$ | $a,\!b,\!c,\!k$ | $b,\!c,\!k$ | $c,\!k$ | $k$ | $a,\!b,\!c,\!e,\!k$ | |
| $a,\!b,\!c,\!d,\!k$ | $a,\!b,\!c,\!d,\!k$ | $b,\!c,\!d,\!k$ | $c,\!d,\!k$ | $d,\!k$ | $k$ | |
以上より，巡回平面がビリヤード問題の解になることが示された。
8. まとめ
双方向の証明がなされたので，巡回平面はビリヤード問題の解と等価であると言える。
9. 備考
図１－４が一番分かり易いと思うが，格子点を通る平面は一意に定まらない。本記事で取り扱った巡回平面とは本来あくまで非ユークリッド幾何学である射影平面上の概念であり，射影平面上では明確に点の集合として平面が唯一に定まるよう定義される。しかし，このような抽象度の高い射影平面を持ち出さず，敢えてユークリッド幾何学的に巡回平面を説明しようとしたのが本記事の目的である。
本来の巡回平面は２つの基本格子点から合成される格子点の集合として定義されるものであり，格子点と格子点の間は未定義であることを考えると，上の２つの図の黄色で塗っている平面はあくまで格子点が同一平面上にあることを示すために補助的に描いたものであり，巡回平面の定義には含まれないことをご理解頂きたい。
参考文献
[1] ガロアの数学「体」入門～魔円陣とオイラー方陣を例に～小林吹代，技術評論社
[2] 魔円陣と有限 幾何，秋山茂樹，数学セミナー2013年7月号 