LaTex よく使う数式集と基本的なLatex【備忘録】

はじめに

ドキュメント作成時に便利なLatexですが、自分がよく使うものを纏めてみました。
自分は統計学の学習をする上で、文書化する時によく使います。
R markdownにもlatexは盛り込めるので、とても便利です。

自分は完全な初学者だったため、色々情報収集するのに苦労したため
これから学習する人や、少し触ってみたいと思っている方の参考になれば
いいと思いますので、まずは簡単にLatexの始め方や参考サイトを紹介したいと思います。

完全に自分の主観での紹介になります事をご了承下さい。

尚、使用している環境はCloud LaTexになります。

Cloud Latex 紹介記事

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学習する上で、参考にしたサイト

記号関連

LaTex入門

数学記号（等号、不等号、演算子、集合）

尚、公式にもTutorialがありますので、参考にできると思います。

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Cloud LaTex

公式サイト

自分の場合、最初はテンプレを利用しました。

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数式の表記スタイル（モード）

数式の記述方法はインラインモード（中央揃え）とディスプレイモード（左寄せ）があります。

【インラインモード（分散）】

\[
s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {(x_i - \overline{x})^2}
\]

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {(x_i - \overline{x})^2}

【ディスプレイモード（分散）】

ディスプレイモードはTextを組み込めます。
ディスプレイモードの場合、$数式$はドルマークで囲みます。

これは数式$s^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {(x_i - \overline{x})^2}$です。

これは数式s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {(x_i - \overline{x})^2}です。

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数式（ディスプレイモード）

分数は$\frac{1}{2}$

分数は\frac{1}{2}

波括弧｛｝は、$\{E(X)\}^2$

波括弧｛｝は、\{E(X)\}^2

ルートは$\sqrt{5}$

ルートは\sqrt{5}

二乗は$5^2$、x^{n-r}

二乗は5^2、x^{n-r}

下付き添え字は、{}_n C_r

{}_n C_r

シグマは$\sum_{i=1}^n$

シグマは\sum_{i=1}^n

Xバーは$\bar{X}$

Xバーは\bar{X}

ハットは$\hat{p}$

ハットは\hat{p}

改行は、$\par or \\$

Before

After

空行

\vskip\baselineskip

Before

After

中央揃え

\begin{center}
\Large TEXT TEXT TEXT
\end{center}

行揃え

\begin{flushleft}
TEST TEST TEST TEST\\
TEST TEST TEST
\end{flushleft}

Before

After

フォントサイズの変更-1

TEST TEST TEST TEST
\large TEST TEST TEST TEST
\Large TEST TEST TEST TEST

以下、CHATGPT
これらのコマンドは、そのスコープが終了するまで（通常は中括弧で囲まれた範囲）効果があります。例えば、ある段落だけフォントサイズを大きくしたい場合は以下のようにします：

フォントサイズの変更-2

\tiny
\scriptsize
\footnotesize
\small
\normalsize
\large
\Large (大文字のLが2つ)
\LARGE
\huge
\Huge (最も大きい)

太文字

\textbf {TEST TEST TEST TEST}

尚、中にはclassやpackageを読み込まないと記述できないものあります。
Cloudの場合は、自動コンパイルという機能がありますので更新毎に記法が間違っていればエラーが発生します。

ハイパーリンク

package 読み込みが必要です(hyperref)

\usepackage{hyperref}
\Large yahoo
\url{https://www.yahoo.co.jp/}

dot

\bar{u}=a\cdot\frac{x_1+x_2+...x_n}{n}+b=a\bar{x}+b

演算子

参考記事

和：$1+1=2$、差$2-1=1$

積：$\times$、商：$\div$、プラマイ：$\pm$

論理記号

参考記事

論理積: $A \land B$
論理和: $A \lor B$

【表】

package 読み込みが必要です(booktabs)
表なんかも色々な記法がありますので調べてみるといいです。

\documentclass[xelatex,a4paper,11pt,ja=standard]{bxjsarticle}
\usepackage{booktabs}

\title{Sample}

\begin{document}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{cc}
\toprule
名前 & 色 \\
\midrule
りんご & 赤または緑 \\
みかん & 橙\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

 \begin{table}[htbp]
\centering
    \label{tab:example}
    \begin{tabular}{{c|lll}}
        変数 & 尺度 & 説明と例  \\ \hline
        質的 & 名義 & 違いの比較 & 性別、都道府県コード\\
             & 順序 & 順序関係がある & 成績区分\\ \hline
        量的 & 間隔 & 順序に意味がある & 気温、湿度\\
             & 比例 & 差と比に意味がある & 重さ、長さ、容量
    \end{tabular}
\end{table}


\begin{table}[htbp]
\centering
    \label{tab:example}
    \begin{tabular}{{c|lll}}
          　 相関係数の目安 \\ \hline
             相関係数  & 相関 \\ \hline
             $-1 \leq r \leq -0.7$ & 強い負の相関\\ \hline
             $-0.7 \leq r \leq -0.4$ & 負の相関\\ \hline
             $-0.4 \leq r \leq -0.2$ & 弱い負の相関\\ \hline
             $-0.2 \leq r \leq 0.2$ & 無相関\\ \hline
             $0.2 \leq r \leq 0.4$ & 弱い正の相関\\ \hline
             $0.4 \leq r \leq 0.7$ & 正の相関\\ \hline
             $0.7 \leq r \leq 1$ & 強い正の相関\\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\end{document}

Latexで確認

ここからはCloud Latex上で確認

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数式一覧

\documentclass[xelatex,a4paper,11pt,ja=standard]{bxjsarticle}
\usepackage{xltxtra}
\usepackage{zxjatype}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{booktabs}


\title{数式一覧}

\begin{document}
\maketitle

\section{分散}
\[
s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {(x_i - \overline{x})^2}
\]

\section{標準偏差}
\[
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n {(x_i - \overline{x})^2}}
\]

\section{不偏分散}
\[
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n {(x_i - \overline{x})^2}
\]

\section{標準誤差}
標準偏差=SD 自由度=(degree of freedom)

自由度とは、サンプル数の事

$SE = \frac{SD}{\sqrt{free}}$

\section{標準正規分布に従う、確率変数}
\[
Z = \frac{\bar{X}-{\mu}}{\sqrt{\frac{4^2}{9}}}   \sim N(\mu,\sigma^2)
\]

\section{標本平均}
\[
\bar{X} = \frac{x_1+x_2...+x_n}{r} \sim N(\mu,\sigma^2)
\]

\section{正規分布}
\[
N(\mu,\sigma^2)
\]

\section{ハット記号}
統計学では推測値の表記には、ハットが使われる\\

\[
\hat{x}
\]

\[
\widehat{x}
\]

\section{残差}

\Large 観測値 - 予測値\\

\[
\sum_{n=1}^n = (y_i - \hat{y_i})
\]

\section{決定係数}
連続した下付きの添え字の記載方法

\[
r_{xy} \frac{s_x}{s_y}
\]

\section{共分散}

\[
r_{xy} s_{xy}
\]

\section{組み合わせの数}

\[
{}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]

\section{順列}

\[
{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}
\]

\section{条件付確率}
ある条件下の元で起こる確率を $P(A|B)$ または $P_A(B)$ で表現する

\[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]

\section{ベイズの定理}

\[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}
\]

\end{document}

順列と組み合わせ

\documentclass[xelatex,a4paper,11pt,ja=standard]{bxjsarticle}
\usepackage{xltxtra}
\usepackage{zxjatype}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{booktabs}


\title{順列と組み合わせ}

\begin{document}
\maketitle

\section{順列}
順列とは異なるn個の中から、k個を順番を付けて並べる並べ方
\section{公式}
\[
{}_n \mathrm{P}_k = \frac{n!}{(n-k)!}
\]
\section{例}
\[
{}_5 \mathrm{P}_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5.4.3.2.1}{2.1} = 60
\]

\section{組み合わせ}
組み合わせとは、異なるn個の中からk個を順番を付けずに選ぶ場合の選び方
\section{公式}
\[
{}_n \mathrm{C}_k = \frac{n!}{r!(n-k)!}
\]
\section{例}
\[
{}_5\mathrm{C}_3= \frac{5!}{3!(5-3!)} = \frac{5.4.3.2.1}{3.2.1.2.1} = 10
\]

\end{document}

確率密度関数

\documentclass[xelatex,a4paper,11pt,ja=standard]{bxjsarticle}
\usepackage{xltxtra}
\usepackage{zxjatype}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{booktabs}


\title{確率密度関数}

\begin{document}
\maketitle

\section{確率密度関数}

\vskip\baselineskip

\Large 連続型確率関数Xが、区間|a,b|内の値をとる確率Pを考える。

\[
P(a \leqq X \leqq b) = \int_a^b f(x)dx
\]

\section{正規分布（ガウス分布）}

\vskip\baselineskip

\Large 正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の確率密度関数

\vskip\baselineskip

\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}
\]


\end{document}

基本統計量

\documentclass[xelatex,a4paper,11pt,ja=standard]{bxjsarticle}
\usepackage{xltxtra}
\usepackage{zxjatype}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{booktabs}


\title{基本統計量}

\begin{document}
\maketitle

\section{平均}

\[
\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
\]

\section{分散}

\[
\sigma^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2
\]

\section{標準偏差}

\[
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2}
\]

\section{歪度（わいど、skewness）}

\[
skewness = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^n(\frac{x_i- \bar{x}}{s})^3
\]

\section{尖度（せんど、kurtosis）}

\[
kurtosis = \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i=1}^n \frac{x_i- \bar{x}}{s^4} - \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}
\]


\end{document}

二項分布

\documentclass[xelatex,a4paper,11pt,ja=standard]{bxjsarticle}
\usepackage{xltxtra}
\usepackage{zxjatype}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{booktabs}


\title{二項分布}

\begin{document}
\maketitle

\section{概要}

\Large 成功確率pが一定の反復試行をn回行った時の成功回数Xを\par
確率変数とする離散型確率分布の事を言い、n回試行した確率p\par
の分布を $B(n,p)$ と表現する

\vskip\baselineskip

\section{二項分布の確率関数}

\Large 二項分布の確率関数は、組み合わせの数 x 確率で求める

\[
P(X=x) = _nC_xp^x(1-p)^{n-x}
\]

\vskip\baselineskip

\section{二項分布に従う確率変数の期待値}

\[
E(X) = np 
\]

\vskip\baselineskip
\vskip\baselineskip
\vskip\baselineskip

\section{二項分布に従う確率変数の分散}

\[
V(X) = np(1-p)
\]

\centerline{or} \Large

\vskip\baselineskip

\centerline{$q = (1-p)$ と定義し、$V(X) = npq$ とも表現できる} \Large 

\vskip\baselineskip

\section{二項分布に従う確率変数の標準偏差}

\vskip\baselineskip

\centerline{$s = \sqrt{np(1-p)}$ \quad or \quad $s = \sqrt{npq}$} \Large


\section{例題}

\Large 確率変数Xが二項分布 $B(5,0.2)$ に従う時\par
$P(X=3)$ の確率変数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

\vskip\baselineskip

平均 $\mu = 5*0.2 = 1, $ 分散 $\sigma^2 = \mu(1-p) = 1*0.8 = 0.8$\par
標準偏差 $\sigma = \sqrt{0.8} = 0.89$\par

\vskip\baselineskip

※ルートの計算は開平法より求める。

\end{document}