調和振動する場におけるMaxwell方程式
$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)$および$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)$を調和振動する波として，次のように表現する．
\begin{align}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) &= E(\boldsymbol{r}) e^{i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} -\omega t)}
= E(\boldsymbol{r}) e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} e^{-i \omega t} = \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t} \tag{1}
\\
\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) &= H(\boldsymbol{r}) e^{i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} -\omega t)}
= H(\boldsymbol{r}) e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} e^{-i \omega t} = \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t} \tag{2}
\end{align}
ここで，$\omega$は光の角振動数，$i$は虚数単位，$e$はネイピア数，$E(\boldsymbol{r})$および$H(\boldsymbol{r})$は位置のみに依存する振幅の大きさ，$\boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})$および$\boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})$は位置のみに依存する振幅ベクトルである．
また，$\boldsymbol{k}$は波数ベクトルであり，その向きは入射方向を表し，大きさは平面波の波長と関係がある．1次元の場合は$k=\frac{\omega}{c}$の関係があるが，2次元の場合も$k_x = \frac{\omega}{c} \cos \theta,~ k_y = \frac{\omega}{c} \sin \theta$とすれば，成分を決められる．
微分形のFaradayの法則の式$\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}$に式（1），（2）を代入すると，
\begin{align}
\nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t} &= -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}}{\partial t} \nonumber
\\
\nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t} &= i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}
\end{align}
両辺から$e^{-i \omega t}$を消去して，
\begin{align}
\nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) &= i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) \tag{3}
\end{align}
また，電流の無い系（$\sigma(\boldsymbol{r})=0$）における，微分形のAmpereの法則の式$\nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t) = \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}$に式（1），（2）を代入すると，
\begin{align}
\nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t} &= \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}}{\partial t}
\\
\nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t} &= -i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}
\end{align}
両辺から$e^{-i \omega t}$を消去して，
\begin{align}
\nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) &= -i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \tag{4}
\end{align}
電場におけるスカラー波動方程式
式（3）を変形すると，
\begin{align}
\boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) = \frac{\nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})}{i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r})}
\end{align}
これを式（4）の左辺に代入すると，
\begin{align}
\nabla \times \frac{\nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})}{i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r})} &= -i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \nonumber
\\
\frac{1}{i \omega \mu_0} \nabla \times \left\{ \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) } \left[ \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right] \right\} &= -i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})
\\
\nabla \times \left\{ \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) } \left[ \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right] \right\} &= -i^2 \omega^2 \epsilon_0 \mu_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})
\end{align}
また，$i^2 = -1$および真空中の光速が$c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$であることを使うと，
\begin{align}
\therefore \nabla \times \left\{ \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) } \left[ \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right] \right\}
-\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})
= \boldsymbol{0} \tag{5}
%\label{HelmholtzE0}
\end{align}
ここで，$x$-$y$平面において（$\boldsymbol{r}=(x,y,0)$），電場が入射面に対して垂直（$z$方向）成分のみ持つ場合を$\boldsymbol{E}_0 = \left[ \begin{array}{ccc} 0& 0& E(\boldsymbol{r}) \end{array} \right] ^\text{T}$とおく．これを式（5）に代入すると，
\begin{align}
&\nabla \times \left\{ \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) } \left[ \nabla \times
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\right] \right\}
-\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \nabla \times \left\{ \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) }
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i}& \boldsymbol{j}& \boldsymbol{k}\\
\frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\
0& 0& E(\boldsymbol{r})
\end{vmatrix}
\right\}
-\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \nabla \times \left\{ \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) }
\begin{Bmatrix}
\frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y}\\
-\frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial x}\\
0
\end{Bmatrix}
\right\}
-\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \begin{vmatrix}
\boldsymbol{i}& \boldsymbol{j}& \boldsymbol{k}\\
\frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\
\frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y}& -\frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial x}& 0
\end{vmatrix}
-\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \begin{Bmatrix}
0\\
0\\
-\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right] -\frac{\partial}{\partial y} \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right]
\end{Bmatrix}
-\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \boldsymbol{0}
\end{align}
これより$z$成分において，次式が成り立つ．
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right]
+\frac{\partial}{\partial y} \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right]
+\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r}) E(\boldsymbol{r})
= 0
\end{align}
\begin{align}
\therefore \nabla \cdot \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \nabla E(\boldsymbol{r}) \right] +\frac{\omega^2}{c^2} E(\boldsymbol{r}) = 0
%\label{HelmholtzEz}
\end{align}
この式をTransverse Magnetic（TM）偏光，またはE偏光などという．なお，この式はHelmholtz方程式の形をしている．
磁場におけるスカラー波動方程式
式（4）を変形すると，
\boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) = -\frac{\nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})}{i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})}
これを式（3）の左辺に代入すると，
\begin{align}
\nabla \times \left[ -\frac{\nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})}{i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})} \right] &= i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) \nonumber
\\
-\frac{1}{i \omega \epsilon_0} \nabla \times \left\{ \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) } \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) \right] \right\} &= i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})
\\
\nabla \times \left\{ \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) } \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) \right] \right\} &= -i^2 \omega^2 \epsilon_0 \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})
\end{align}
また，$i^2 = -1$および真空中の光速が$c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$であることを使うと，
\begin{align}
\therefore \nabla \times \left\{ \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) } \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) \right] \right\}
-\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})
= \boldsymbol{0} \tag{6}
%\label{HelmholtzH0}
\end{align}
ここで，磁場が入射面に対して垂直（$z$方向）成分のみ持つ場合を$\boldsymbol{H}_0 = \left[ \begin{array}{ccc} 0& 0& H(\boldsymbol{r}) \end{array} \right] ^\text{T}$とおく．これを式（6）に代入すると，
\begin{align}
&\nabla \times \left\{ \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) } \left[ \nabla \times
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\right] \right\}
-\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \nabla \times \left\{ \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) }
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i}& \boldsymbol{j}& \boldsymbol{k}\\
\frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\
0& 0& H(\boldsymbol{r})
\end{vmatrix}
\right\}
-\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \nabla \times \left\{ \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) }
\begin{Bmatrix}
\frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial y}\\
-\frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial x}\\
0
\end{Bmatrix}
\right\}
-\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \begin{vmatrix}
\boldsymbol{i}& \boldsymbol{j}& \boldsymbol{k}\\
\frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\
\frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial y}& -\frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial x}& 0
\end{vmatrix}
-\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \begin{Bmatrix}
0\\
0\\
-\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right] -\frac{\partial}{\partial y} \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right]
\end{Bmatrix}
-\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
\begin{Bmatrix}
0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
\end{Bmatrix}
\\
=& \boldsymbol{0}
\end{align}
これより$z$成分において，次式が成り立つ．
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right]
+\frac{\partial}{\partial y} \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right]
+\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r}) H(\boldsymbol{r})
= 0
\end{align}
\begin{align}
\therefore \nabla \cdot \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \nabla H(\boldsymbol{r}) \right] +\frac{\omega^2}{c^2} H(\boldsymbol{r}) = 0
%\label{HelmholtzHz}
\end{align}
この式をTransverse Electric（TE）偏光，またはH偏光などという．なお，この式はHelmholtz方程式の形をしている．