これが一番楽だと思います（多分）
証明
ある点$t$において関数$f(t)$の値が分かっている時、$f(t+dt)$の近似値を得ることを考える。$C_0, C_1, C_2, \cdots$を任意の係数として、$f(t+dt)$を$dt$の多項式で表現すると、次のように書ける。
f(t+dt) = C_0 +C_1 dt +C_2 (dt)^2 +\cdots +C_k (dt)^k +\cdots \tag{1}
以降、係数を$C_0$から順に求めていく。$dt=0$とすると、直ちに次が分かる。
C_0 = f(t)
続けて$C_1$を求めるには、まず式（1）を微分する。
f'(t+dt) = C_1 +2C_2 dt +3C_3 (dt)^2 +\cdots +kC_k (dt)^{(k-1)} +\cdots \tag{2}
ここで$dt=0$とすれば、直ちに次が分かる。
C_1 = f'(t)
さらに式（2）を微分し、$dt=0$とすると、次が分かる。
C_2 = \frac{f''(t)}{2}
以降も同様の方法で計算すると、係数を次々と求めることができる。
C_3 = \frac{f^{(3)} (t)}{2 \cdot 3}
\\
C_4 = \frac{f^{(4)} (t)}{2 \cdot 3 \cdot 4}
すると$f(t+dt)$は、最終的に次のように書ける。
f(t+dt) = f(t) +f'(t) dt +\frac{f''(t)}{2!} (dt)^2 +\cdots +\frac{f^{(k)} (t)}{k!} (dt)^k +\cdots
まとめて書けば、次のようになる。
f(t+dt) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (t)}{k!} (dt)^k
これを、Taylor級数の式という。また、関数$f(t)$からTaylor級数を得ることを、Taylor展開という。