これが一番楽だと思います（多分）
証明
複素数平面における単位円上の複素数$z$は、次のように書ける。
z = \cos \theta +i \sin \theta
両辺を$\theta$で微分すると、
\frac{dz}{d \theta} = -\sin \theta +i \cos \theta = iz
変数分離すると、
\frac{1}{z} \frac{dz}{d \theta} = i
両辺を$\theta$で積分すると、
\int \frac{1}{z} \frac{dz}{d \theta} d \theta = \int \frac{1}{z} dz = \int i d \theta
\\
\log_e z = i \theta
\\
z = e^{i \theta}
よって、
e^{i \theta} = \cos \theta +i \sin \theta
この式を、オイラーの公式という。