『クラウド量子計算入門』の演習を行う (4 位相シフトゲートの量子実験) その１

はじめに

こちらの本を読みつつ、演習・実験を試してみます。

• 『クラウド量子計算入門―IBMの量子シミュレーションと量子コンピュータ』

「Quantum Experience 2.0 リリース!?」でブロッホ測定用の OPERATION がなくなり、球の回転の状況が見られないため（？）、演習 4-3 以降のブロッホ球を載せてる意味があまりない。

4 位相シフトゲートの量子実験

4.1 位相シフト演算とは

4.1.2 位相シフト演算 S と T

演習 4-1

量子シミュレータで、変換式 $ SYS^{\dagger} = -X $ を確かめる量子回路を作成し、一致しているか確かめよ。

行列計算

SYS^\dagger|0\rangle
=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ i^2 \end{bmatrix}
=
-|1\rangle

X|0\rangle
=
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
|1\rangle

SYS^\dagger|1\rangle
=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
|0\rangle

X|1\rangle
=
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
|0\rangle

測定

量子回路

ブロッホ球

演習 4-2

量子シミュレータで、変換式 $ SZS^{\dagger} = Z $ を確かめる量子回路を作成し、一致しているか確かめよ。

行列計算

SZS^\dagger|0\rangle
=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
|0\rangle

Z|0\rangle
=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
|0\rangle

SZS^\dagger|1\rangle
=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ i^2 \end{bmatrix}
=
-|1\rangle

Z|1\rangle
=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}
=
-|1\rangle

測定

量子回路

ブロッホ球

4.1.3 位相シフト演算 S でのアダマール変換

演習 4-3

量子シミュレータで、$ H|0\rangle $、$ S^{\dagger}H|0\rangle $、$ HS^{\dagger}H|0\rangle $ を確かめる量子回路を作成し、どのように量子ビットが回転するか行列計算とともに比較して確かめよ。

行列計算

H|0\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle + |1\rangle }{ \sqrt{2} }

S^\dagger H|0\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle - i|1\rangle }{ \sqrt{2} }

HS^\dagger H|0\rangle
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1-i \\ 1+i \end{bmatrix}
=
\frac{ (1-i)|0\rangle + (1+i)|1\rangle }{2}

($ HS^\dagger H|0\rangle $ は途中...)

測定

量子回路

ブロッホ球

c1[0]	n
0	4094
1	4098

c1[0]	n
0	4094
1	4098

c1[0]	n
0	4094
1	4098

演習 4-4

量子シミュレータで、$ H|1\rangle $、$ SH|1\rangle $、$ HSH|1\rangle $ を確かめる量子回路を作成し、どのように量子ビットが回転するか行列計算とともに比較して確かめよ。

行列計算

H|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle - |1\rangle }{ \sqrt{2} }

SH|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle - i|1\rangle }{ \sqrt{2} }

HSH|1\rangle
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1+i \\ 1-i \end{bmatrix}
=
\frac{ (1+i)|0\rangle + (1-i)|1\rangle }{2}

($ HSH|1\rangle $ は途中...)

測定

量子回路

ブロッホ球

c1[0]	n
0	4094
1	4098

c1[0]	n
0	4094
1	4098

c1[0]	n
0	4094
1	4098

演習 4-5

量子シミュレータで、$ H|1\rangle $、$ S^{\dagger}H|1\rangle $、$ HS^{\dagger}H|1\rangle $ を確かめる量子回路を作成し、どのように量子ビットが回転するか行列計算とともに比較して確かめよ。

行列計算

$ H|1\rangle $ は省略。

S^\dagger H|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle + i|1\rangle }{ \sqrt{2} }

HS^\dagger H|1\rangle
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1+i \\ 1-i \end{bmatrix}
=
\frac{ (1+i)|0\rangle + (1-i)|1\rangle }{2}

測定

量子回路

ブロッホ球

c1[0]	n
0	4094
1	4098

c1[0]	n
0	4094
1	4098