解析信号（Analytic Signal）

解析信号とは、元の実数信号から得られる複素数値信号であり、
時間領域信号の振幅包絡や瞬時位相を取り出すために使われます。

ある実数信号 $x(t)$ に対して、その解析信号 $z(t)$ は以下の形で定義されます：

$$
z(t) = x(t) + i \cdot \mathcal{H}[x(t)]
$$

ここで $\mathcal{H}[x(t)]$ はヒルベルト変換（Hilbert Transform）です。

解析信号の性質：

ヒルベルト変換

ヒルベルト変換は、信号に対してすべての周波数成分を $-90^\circ$ 位相シフトさせる変換です。
時間領域での畳み込みとしても定義されますが、実際には周波数領域で効率よく行うのが一般的です。

$$
H(f) =
\begin{cases}
1 & (f = 0) \\
2 & (f > 0) \\
0 & (f < 0)
\end{cases}
$$

これにより、時間波形では見えなかった信号の構造を、
幾何学的な軌跡として可視化できます。