連続一様分布
全ての同じ確率で起こる（一様）
確率密度関数 ：
{f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & (x<a) \\
\frac{1}{b-a} & (a≦x≦b) \\
0 & (x>b)
\end{array}
\right.
}
- a:取り得る値の最小値
- b:取り得る値の最大値
分布が四角形なので、式は取り得る範囲に高さ相当の f(x) を掛け算すると1になるように、と考えれば秒で導出できる。
期待値
E[X] = \frac{a+b}{2}
四角の真ん中なので、「線分の長さの半分の位置」 $\frac{a+b}{2}$ と考えてよい。
（ちゃんと考える ：
確率分布関数の期待値は、確率分布f(x) と 確率変数の値g(x) との重み付き平均と考えられる。
今回は確率分布f(x)が一様なので計算上無視する。
確率変数g(x)の平均値が期待値になるが、連続値なので最小と最大を足して2で割ればOK）
ここでは、一様分布は最初に登場する連続型の確率分布なので、練習かねて定義式通りに計算する。
\begin{align}
E[X] &= \int_a^bxf(x)dx = \int_a^b\frac{x}{b-a}dx \\
&= \left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b \times
\frac{1}{b-a} = (\frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2})\times\frac{1}{b-a} \\
&= \frac{(b-a)(b+a)}{2} \times\frac{1}{b-a} \\
&= \frac{(b+a)}{2}
\end{align}
分散
V[X] = \frac{(b-a)^2}{12}
ここでは、確率分布に関する分散の式、 $V[X] = E[X^2] - E[X]^2$ から計算する。
$E[X^2]$ は、$E[X] = \int xf(x)dx$ のうち確率変数部xが2乗になり、その生起確率はf(x)のままとして計算する。
\begin{align}
V[X] &= E[X^2] - E[X]^2 \\
&= \int_a^b x^2f(x)dx - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\
&= \left[\frac{1}{3}x^3 \right]_a^b \times \frac{1}{b-a} - (\frac{a^2+2ab+b^2}{4}) \\
&= \frac{b^3 - a^3}{3} \times \frac{1}{b-a} - (\frac{a^2+2ab+b^2}{4}) \\
&= \frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3} \times \frac{1}{b-a} - (\frac{a^2+2ab+b^2}{4}) \\
&= \frac{(4a^2 + 4ab + 4b^2) - (3a^2 + 6ab + 3b^2)}{12} \\
&= \frac{a^2 - 2ab + b^2}{12} \\
&= \frac{(a-b)^2}{12}\\
&= \frac{(b-a)^2}{12}
\end{align}