重回帰分析

なぜ，重回帰分析についての記事が何回も何回も掲載されるのか。それも，重回帰分析すらでなくて単回帰（直線回帰）分析。しかも，不十分な記事が。

重回帰分析の導出なんて，誰が何回やっても同じなんだから，それを個別に何回も何回も記述しても，意味ないじゃん。数式を一杯書いたらすごそうに見える？

その割には，注意すべき点についてちゃんと記述できている記事も少ないし。

単回帰分析は重回帰分析のもっとも単純な場合なので，以下のように。

プラットフォームはいろいろあるが，R なら，

options(digits=16)
x = c(2,1,3,4,5,5,4)
y = c(2,3,4,2,2,3,1)
lm.1 = lm(y ~ x)
lm.2 = summary(lm.1)

# 直線回帰の結果の表示
# Coefficients の x の行の最終欄　Pr(>|t|) が，偏回帰係数（slope) H0: slope ≡ 0 の有意性検定
# 最終行の F-statistic の行の p-value が，回帰の分散分析の F 値に対する p 値
# 2つの p 値は同じである
print(lm.2)

Call:
lm(formula = y ~ x)

Residuals:
               1                2                3                4 
-0.6666666666667  0.1666666666667  1.5000000000000 -0.3333333333333 
               5                6                7 
-0.1666666666667  0.8333333333333 -1.3333333333333 

Coefficients:
                    Estimate       Std. Error  t value Pr(>|t|)  
(Intercept)  3.0000000000000  1.0327955589886  2.90474 0.033605 *
x           -0.1666666666667  0.2788866755114 -0.59761 0.576132  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.032795558989 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.06666666666667,	Adjusted R-squared:           -0.12 
F-statistic: 0.3571428571429 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.5761317257177

# Multiple R-squared 重相関係数は，従属変数と独立変数の間の相関係数の 2 乗だ（直線回帰の場合，Adjusted R-squared はほとんど意味がない）
cor(x, y)^2

0.0666666666666667

# 直線回帰の場合の slope の有意性検定の p 値は以下の通り
cat("AGAIN: partial regression coefficient for x\n")
print(lm.2$coefficients[2,4])

AGAIN: partial regression coefficient for x
[1] 0.5761317257177403

# 従属変数と独立変数の相関分析 は cor.test で行う
# 両者が無相関であるかの検定は p-value の横に示されているもの
# 偏回帰係数の検定 と 分散分析 の p 値と同じである
cor.test(x, y)

	Pearson's product-moment correlation

data:  x and y
t = -0.5976143046672, df = 5, p-value = 0.5761317257177
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.8466377904121403  0.6143036678155451
sample estimates:
                cor 
-0.2581988897471611

# 回帰分析の結果の所にもあるが，個別に検定することもできる
# 回帰の分散分析である
# Pr(>F) の下に書かれている p 値は，既に書いてきた 3 個の p 値と全く同じである
anova(lm.1)

A anova: 2 × 5
	Df	Sum Sq	Mean Sq	F value	Pr(>F)
	<int>	<dbl>	<dbl>	<dbl>	<dbl>
x	1	0.3809524	0.3809524	0.3571429	0.5761317
Residuals	5	5.3333333	1.0666667	NA	NA