テイラー展開の概略

はじめに

テイラー展開が分からない、という人の為の記事です。数学的に厳密な話は避けるので、曖昧なところがあります。概略を知りたい人向けです。

x=0で考える（マクローリン展開）

ある関数$f(x)$を考えます。この関数を

f(x) = a_0x^0 + a_1x_1^1 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + \cdots = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n a_kx_k^k

と表そう、というのが目標です。ここで、目標は決まっているのでとりあえず、上のように$f(x)$を表せると仮定してしまいまい、$a_0, a_1, \cdots$を求める方針でいきます。このとき$a_0, a_1, a_2, \cdots$を$f(x)$で表してみます。すると、

a_0 = \frac{f(0)}{0!} \\
a_1 = \frac{f^{(1)}(0)}{1!} \\
a_2 = \frac{f^{(2)}(0)}{2!} \\
a_3 = \frac{f^{(3)}(0)}{3!} \\
\vdots \\
a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \\

と表せます。ただし、$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の$k$階微分とします。$f^{(0)}(x) = f(x), f^{(1)}=f'(x), f^{(2)}(x)=f''(x)$ということです。

つまり、

f(x) = f^{(0)}(0) + f^{(1)}(0)x + \frac{f^{(2)}(0)}{2}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{6}x^3 + \cdots =  \lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k

と表せます。目標達成です。この$x=0$のときの$k$階微分を用いて$f(x)$を$f(x) = a_0x^0 + a_1x_1^1 + a_2x_2^2 + a_3x_3^3 + \cdots$という多項式で表すことを「マクローリン展開」と呼びます。

x=aのときで一般化する（テイラー展開）

結論から言うと平行移動すればよいです。

g(x-a) = f(x)

という関数を考えれば$f(x)$を$-a$だけ$x$方向に並走移動した関数$g(x)$を得られます。試しに$x=a$を代入してみると$f(a)=g(a-a)=g(0)$となることを確認できます。では$g(x)$をマクローリン展開してみます。

g(x) = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k

となります。ここで、$f(x)=g(x-a)$を代入して

f(x) = g(x-a) = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{g^{(k)}(0)}{k!}(x-a)^k = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

となります。これで$f(x)$の$x=a$まわりでのテイラー展開が得られました。

最後に

今回はテイラー展開の概略なのでテイラー展開可能性については論じません。

また、Qiitaの記事の方針的に、これは大丈夫なのかな、という微妙なラインな気がするので、流石にこれは違うだろ、ということであればご指摘お願いします。