はじめに
負の二項分布を勉強したときに、負の二項定理を知ったので、
2つの関係性を考えていたらなんか見つけました。
負の二項分布
これは何かを簡単に説明します。
まず 1 回の試行で当たりが出る確率を $\theta$ とします。
この時 $n$ 回当たりが出るまでに $k$ 回ハズレが出る確率の分布になっています。
式にするとこんな感じ。
$$
p(k \ ; n) = \binom{k + n - 1}{n - 1} \theta^{n}(1 - \theta)^{k}
$$
最後の1回は当たり確定なので、残った $ n - 1 + k $ 回の中で当たりを引く場所が $n - 1$ 箇所ある場合の数が二項係数の部分に相当するというのが直感的な説明です。
負の二項定理
とりあえず式を載せます。
$$
(1 - x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{k + n - 1}{n - 1} x^k
$$
ご覧の通り、さっき見たやつとすごい似ています。
関係
負の二項分布は離散確率分布なので$k$について和を取ると $1$ です。
$$
1 = \sum_{k = 0}^{\infty} \binom{k + n - 1}{n - 1} \theta^{n}(1 - \theta)^{k}
$$
両辺を$\theta^n$で割ります。
$$
\theta^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k + n - 1}{n - 1} (1 - \theta)^{k}
$$
$x = 1 - \theta$ と置換してやると $ \theta = 1 - x $ で
$$
(1 - x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{k + n - 1}{n - 1} x^k
$$
これは負の二項定理です。
結論
個人的には負の二項分布の方が、意味があって覚えやすい。。。
負の二項定理を忘れても、すぐ導けますね。