N体問題

初めに

林檎も月も地球に向けて落ちてきている．

Methods

空間上に$N$個だけの質点を散撒くと，

\begin{align}
    \frac{d \boldsymbol{v}_i}{dt}
    &= \frac{\boldsymbol{f}_i}{m_i}
    \quad (i = 1, ..., N)
\end{align}

質点$i$に作用する力$\boldsymbol{f}_i$は質点$j$から受ける引力

\begin{align}
    \boldsymbol{f}_i
    &= \sum_{j \neq i} G \frac{m_i m_j}{\| \boldsymbol{r}_{ij} \|^2}
        \frac{\boldsymbol{r}_{ij}}{\| \boldsymbol{r}_{ij} \|}
\end{align}

であるから，

\begin{align}
    \frac{d \boldsymbol{v}_i}{d t}
    &= \sum_{j \neq i} G \frac{m_j}{\| \boldsymbol{r}_{ij} \|^2}
        \frac{\boldsymbol{r}_{ij}}{\| \boldsymbol{r}_{ij} \|}
\end{align}

を適当に時間積分する．

Results

2体問題

地球と月の運動を，以下のパラメータを使って解いた．

• 地球の質量は$5.97 \times 10^{24} \ [ \text{kg} ]$
• 月の質量は$7.35 \times 10^{22} \ [ \text{kg} ]$
• 両者の距離は$3.84 \times 10^{8} \ [ \text{m} ]$
• 地球の初期条件は静止状態
• 月の初期条件には$(0, 1023, 0)^{\top} \ [ \text{m/s} ]$の速度を与える
• シミュレーション時間は1年間
• 時間増分は1時間

非シンプレクティック，シンプレクティックを比較する（cf. symplectic integrator）．

	$\text{Trajectory}$	$\text{Energy}$	$\text{Conservation}$
$\text{Expl Euler}$
$\text{Symp Euler}$

3体問題

極めて簡略化し，$G = 1$．質量，初期位置，初期速度を乱数で与えた．

1	2	3	4

終わりに

無次元化とか，各惑星の質量とか，もう少し情報を整理して，太陽系の惑星たちをまるっとシミュレートしてみたい．

ところで，地球が生まれるなぞ，奇跡では？