初めに
次のような求積を考えている．
\begin{align}
\int_{a}^{b}
f (x)
\; dx
&\approx
\sum_{i=1}^{n}
w_i
f (x_i)
\end{align}
参考:
Methods
台形公式（1次多項式）
次の方法
\begin{align}
\int_{a}^{b}
f (x)
\; dx
&\approx
\frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))
=: I_{\text{Trapz}} [f; a, b]
\end{align}
は，$f (x)$が1次以下の多項式なら等号で結ぶことができる．これを，台形近似と呼ぶ．
Newton-Cotesの式（Lagrange多項式）
相異なる$n$個だけの点$\lbrace x_i, f (x_i) \rbrace_{i=1}^{n}$が与えられたとき，
\begin{align}
L_n (x_i)
&= f (x_i)
\end{align}
を満たす$(n-1)$次以下の多項式$L_{n-1}$が一つ定まり，
\begin{align}
L_{n-1} (x)
&= \sum_{i=1}^{n} f (x_i) l_i (x)
\end{align}
で与えられる．これをLagrange多項式と呼ぶ．$l_i (x)$は
\begin{align}
l_i (x)
&= \prod_{j = 1; j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
\end{align}
である．ところで，Lagrange多項式を再掲する．
\begin{align}
L_{n-1} (x)
&= \sum_{i=1}^{n} f (x_i) l_i (x)
\end{align}
これを，区間$[a, b]$で積分する．
\begin{align}
\int_{a}^{b}
L_{n-1} (x)
\; dx
&= \int_{a}^{b} \sum_{i=1}^{n}
f (x_i) l_i (x)
\; dx
\\
&= \sum_{i=1}^{n} \int_{a}^{b}
l_i (x)
\; dx
\; f (x_i)
\\
&= \sum_{i=1}^{n}
w_i f (x_i)
\quad
\left(
w_i = \int_{a}^{b} l_i (x) \; dx
\right)
\end{align}
$L_{n-1}$は$(n-1)$次以下の多項式なのだから，
\begin{align}
\int_{a}^{b}
f (x)
\; dx
&\approx
\sum_{i=1}^{n}
w_i f (x_i)
=: I_{\text{NC}} [f; a, b, n]
\quad
\left(
w_i = \int_{a}^{b} l_i (x) \; dx
\right)
\end{align}
は，$f (x)$が$(n-1)$次以下の多項式なら等号で結ばれる．これを，Newton-Cotesの式と呼ぶ（特に$x_i$を等幅に選んだものをNewton-Cotesの式と呼ぶらしいが，何れにせよ，$(n-1)$次以下の多項式で厳密という性質に変わりはない）．
Gauss-Legendre求積
以降，積分区間が$[-1, 1]$である場合を考える．特に，$x \in [a, b]$である場合には，
\begin{alignat}{3}
x
&= \frac{b - a}{2} y + \frac{b + a}{2}
\quad
&&\Leftrightarrow
\quad
y
&&= \frac{2}{b - a}(x - a) - 1
\\
dx
&= \frac{b - a}{2} dy
\quad
&&\Leftrightarrow
\quad
dy
&&= \frac{2}{b - a} dx
\end{alignat}
とすることで，$y \in [-1, 1]$を考えることができる．このとき，$n$次のLegendre多項式$P_{n}$の零点を積分点に採用した
\begin{align}
\int_{-1}^{1}
f (x)
\; dx
&\approx
\sum_{i=1}^{n}
w_i f (x_i)
=: I_{\text{GL}} [f; n]
\quad
\left(
w_i = \int_{-1}^{1} l_i (x) \; dx,
\;
P_n (x_i) = 0
\right)
\end{align}
は，$f (x)$が$(2 n-1)$次以下の多項式なら等号で結ばれる．これを，Gauss-Legendre求積と呼ぶ．
Results
3次多項式
Wikipediaに記載の，
\begin{align}
f (x)
&= 7 x^3 - 8 x^2 - 3 x + 3
\end{align}
を$[-1, 1]$で積分する．厳密解は$2 / 3$．
台形則
端点を集める．
\begin{align}
\int_{a}^{b}
f (x)
\; dx
\approx
I_{\text{Trapz}} [f]
&=
\frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))
\\
&= \frac{1 - (-1)}{2} (f (-1) + f (1))
\\
&= - 10
\end{align}
poor過ぎる．
Newton-Cotes
再掲すると，
\begin{align}
\int_{a}^{b}
f (x)
\; dx
\approx
I_{\text{NC}} [f; n]
&=
\sum_{i=1}^{n}
w_i f (x_i)
\\
w_i
&= \int_{a}^{b} l_i (x) \; dx
\\
l_i (x)
&= \prod_{j = 1; j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
\end{align}
である．
$n = 2$として，$(x_1, x_2) = (-0.5, 0.5)$を採用してみる（端点を選べば台形公式に一致）．
\begin{align}
w_1
&= \int_{-1}^{1} l_1 (x) \; dx
= \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2} - x \right) \; dx
= 1
\\
w_2
&= \int_{-1}^{1} l_2 (x) \; dx
= \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2} + x \right) \; dx
= 1
\\
I_{\text{NC}} [f; n=2]
&= \sum_{i=1}^{n=2} w_i f (x_i)
= - 2
\end{align}
未だ非常にpoor．
$n = 3$にしてみよう（$(x_1, x_2, x_3) = (-0.5, 0, 0.5)$）．
\begin{align}
w_1
&= \int_{-1}^{1} l_1 (x) \; dx
= \frac{4}{3}
\\
w_2
&= \int_{-1}^{1} l_2 (x) \; dx
= - \frac{2}{3}
\\
w_3
&= \int_{-1}^{1} l_3 (x) \; dx
= \frac{4}{3}
\\
I_{\text{NC}} [f; n=3]
&= \sum_{i=1}^{n=3} w_i f (x_i)
= \frac{2}{3}
\end{align}
正確になった．いまの多項式$f = 7 x^3 - 8 x^2 - 3 x + 3$は3次であるが，$x^3$を積分すると落ちている．
$n = 3$のまま，$(x_1, x_2, x_3) = (-1, 0, 1)$に改めてみる．
\begin{align}
w_1
&= \int_{-1}^{1} l_1 (x) \; dx
= \frac{1}{3}
\\
w_2
&= \int_{-1}^{1} l_2 (x) \; dx
= \frac{4}{3}
\\
w_3
&= \int_{-1}^{1} l_3 (x) \; dx
= \frac{1}{3}
\\
I_{\text{NC}} [f; n=3]
&= \sum_{i=1}^{n=3} w_i f (x_i)
= \frac{2}{3}
\end{align}
$n=3$個だけの積分点があれば，結果に影響はしないようである．Lagrange多項式を考えれば当然だろうか．
Gauss-Legendre
再掲である．
\begin{align}
\int_{-1}^{1}
f (x)
\; dx
\approx
I_{\text{GL}} [f; n]
&=
\sum_{i=1}^{n}
w_i f (x_i)
\\
w_i
&= \int_{-1}^{1} l_i (x) \; dx
\\
l_i (x)
&= \prod_{j = 1; j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
\\
P_n (x_i)
&= 0
\end{align}
$n = 2$とする．
\begin{align}
w_1
&= \int_{-1}^{1} l_1 (x) \; dx
= 1
\\
w_2
&= \int_{-1}^{1} l_2 (x) \; dx
= 1
\\
I_{\text{GL}} [f; n=2]
&= \sum_{i=1}^{n=2} w_i f (x_i)
= f \left( - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + f \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)
= \frac{2}{3}
\end{align}
合っている．
$n = 3$とする．
\begin{align}
w_1
&= \int_{-1}^{1} l_1 (x) \; dx
= \frac{5}{9}
\\
w_2
&= \int_{-1}^{1} l_2 (x) \; dx
= \frac{8}{9}
\\
w_3
&= \int_{-1}^{1} l_3 (x) \; dx
= \frac{5}{9}
\\
I_{\text{GL}} [f; n=3]
&= \sum_{i=1}^{n=3} w_i f (x_i)
= - \frac{5}{9} \frac{18}{5} + \frac{8}{9} 3
= \frac{2}{3}
\end{align}
やはり合っている．
4次多項式
先の関数の次数を1だけ上げて，
\begin{align}
f (x)
&= 7 x^4 - 8 x^3 - 3 x^2 + 3 x
\end{align}
を$[-1, 1]$で積分する．厳密解は$4 / 5 = 0.8$．
台形則
端点を集める．
\begin{align}
I_{\text{Trapz}} [f]
&= 9 - 1
\\
&= 8
\end{align}
相変わらずpoor．
Newton-Cotes
$n = 3$として，$(x_1, x_2, x_3) = (-1, 0, 1)$を採用する．
\begin{align}
I_{\text{NC}} [f; n=3]
&= \frac{1}{3} f \left( -1 \right)
+ \frac{4}{3} f \left( 0 \right)
+ \frac{1}{3} f \left( 1 \right)
= \frac{3}{8} \approx 2.666
\end{align}
まだ足りない．
$n = 4$として，$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (-1, -1/3, 1/3, 1)$を採用する．
\begin{align}
I_{\text{NC}} [f; n=4]
&= \frac{1}{4} f \left( -1 \right)
+ \frac{3}{4} f \left( - \frac{1}{3} \right)
+ \frac{3}{4} f \left( \frac{1}{3} \right)
+ \frac{1}{4} f \left( 1 \right)
= \frac{44}{27} \approx 1.629
\end{align}
まだ足りない．
$n = 5$として，$(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (-1, -1/2, 0, 1/2, 1)$を採用する．
\begin{align}
I_{\text{NC}} [f; n=5]
&= \frac{7}{45} f \left( -1 \right)
+ \frac{32}{45} f \left( - \frac{1}{2} \right)
+ \frac{12}{45} f \left( 0 \right)
+ \frac{32}{45} f \left( \frac{1}{2} \right)
+ \frac{7}{45} f \left( 1 \right)
= \frac{4}{5}
\end{align}
足りた．
Gauss-Legendre
$n = 2$とする．
\begin{align}
I_{\text{GL}} [f; n=2]
&= f \left( - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + f \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)
= - \frac{4}{9}
\end{align}
足りない．
$n = 3$とする．
\begin{align}
I_{\text{GL}} [f; n=3]
&= \frac{5}{9} f \left( - \sqrt{\frac{3}{5}} \right)
+ \frac{8}{9} f \left( 0 \right)
+ \frac{5}{9} f \left( \sqrt{\frac{3}{5}} \right)
= \frac{4}{5}
\end{align}
足りた．
今回は4次の項が落ちていないので，$n$点だけ与えられたとき，Newton-Cotesが$(n-1)$次以下の多項式を，Gauss-Legendreが$(2 n-1)$次以下の多項式を厳密に計算できる性質をrealizeできた．
trigonometric
多項式でない
\begin{align}
I
:= \int_{0}^{\pi / 2}
\sin (x)
\; dx
= 1
\end{align}
を考える．Maclaurin展開を与えれば，（主観だが）5次程度の多項式で良く近似できる．
| $\text{func}$ | $\text{error}$ |
|---|---|
 |
 |
いまさら聞けない計算力学の定石で取り上げられている$I := \int_{0}^{\pi / 2} x \sin (x) \ dx = 1$に対しても，殆ど同じ結果が得られる．
logarithmic
\begin{align}
I
:= \int_{0}^{1}
x \log (1 + x)
\; dx
= \frac{1}{4}
\end{align}
を考える．Maclaurin展開
\begin{align}
\log (1 + x)
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}
\\
x \log (1 + x)
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n+1}}{n}
\end{align}
を使えば，
| $\text{func}$ | $\text{error}$ |
|---|---|
 |
 |
であり，相も変わらず強力である．
終わりに
Lagrange多項式が美しい．
| $n=2,\ p=1$ | $n=3,\ p=2$ | $n=4,\ p=3$ |
|---|---|---|
 |
 |
 |
また，Legendre多項式も美しい．
| $P^{(0)}$ | $P^{(1)}$ | $P^{(2)}$ |
|---|---|---|
 |
 |
 |