GPGPUの数学的理論：なぜ行列演算がGPUと相性がいいのか？

1. はじめに：なぜ「行列演算 × GPU」なのか？

近年、ディープラーニングや3Dレンダリング、数値シミュレーションの計算処理において、「GPUによる行列演算の高速化」は当たり前の技術となっています。TensorFlowやPyTorchといったライブラリがGPUによる高速計算を標準搭載しているのも、まさにその象徴です。

では、そもそもなぜ行列演算はGPUと相性が良いのでしょうか？
「GPUのほうが速い」と言われることはあっても、**なぜ速いのか？どんな仕組みで速くなるのか？**まで掘り下げた記事は意外と少ないように感じます。

この記事では、GPUという計算装置のハードウェア的な並列処理の特徴と、行列演算という数学的な処理構造がどのように噛み合っているのかを理論ベースで解き明かしていきます。

2. GPGPUとは？GPUの一般計算への応用

GPU（Graphics Processing Unit）はもともと、ゲームや映像の描画処理を高速化するためのプロセッサとして発展してきました。画像というのは、ピクセルごとに独立した処理が多く、同時並列で処理できるため、GPUは「並列処理に特化した設計」がなされてきました。

この「並列処理に強い」という特性をグラフィックス以外にも応用しようという流れから生まれたのが、 GPGPU（General-Purpose computing on Graphics Processing Units） です。

GPGPUを支える実行モデル：SIMDとSIMT

GPGPUを支える基盤には、「SIMD（Single Instruction, Multiple Data）」という実行モデルがあります。これは「1つの命令で複数のデータに同じ処理をする」という方式で、例えば以下のようなケースに向いています。

• 多数の配列に対して同じ加算処理を行う
• 多数のピクセルに対して同じフィルターを適用する

NVIDIAのGPUではこの考えをさらに拡張した「SIMT（Single Instruction, Multiple Threads）」というモデルが使われており、スレッド単位で命令を発行しつつも、同じ命令群を束ねて実行することで、柔軟性と高効率を両立しています。

このように、GPUは大量のスレッド（コア）を同時に走らせることに最適化されているのです。次章では、この並列性がどのように行列演算と噛み合うのか、数学的な構造から見ていきましょう。

3. 行列演算の構造：なぜ並列処理しやすいのか？

行列演算がGPUと相性が良い理由の一つに、「計算の独立性」があります。

たとえば、2つの行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times k}$、$B \in \mathbb{R}^{k \times n}$ の積 $C = AB$ を考えましょう。このとき、生成される行列 $C \in \mathbb{R}^{m \times n}$ の各要素 $C_{i,j}$ は、以下のように定義されます。

$$
C_{i,j} = \sum_{l=1}^{k} A_{i,l} \cdot B_{l,j}
$$

この式からわかる通り、各 $C_{i,j}$ の計算は、他の $C_{i',j'}$ の計算とは完全に独立しています。
つまり、各出力要素の計算はそれぞれ別のスレッドで同時に行うことが可能ということになります。

このような「全ての計算が独立している」構造は、まさにGPUが得意とする並列処理にピッタリ合致します。

計算パターンの図示（ここに画像を入れると効果的）

画像案：2つの行列を色分けして重ね合わせ、各 $C_{i,j}$ が「Aの1行 × Bの1列」で求まる様子を可視化
図には複数の矢印を並べ、「どの計算も互いに独立」であることを示すと理解が進みます。

行列演算の一般性

行列積は線形代数の基本的な演算であり、多くの分野で現れます。

• グラフィックス：座標変換
• 機械学習：ニューラルネットワークの重み計算
• 数値シミュレーション：連立方程式の解法
• 統計解析：共分散行列、主成分分析（PCA）

どれも、同じように大きな行列同士の演算が必要になります。ここで「高速に」「大量の要素を」「同時に」処理できることが求められるため、GPUが非常に有効なのです。

さらに、次の章ではこの並列性をGPUのハードウェア構造の視点から詳しく見ていきます。

4. GPU内部構造と行列演算の並列対応

GPUは、何千ものスレッドを同時に動かすことで高い演算性能を実現しています。ただし、それは「無秩序に多数の処理を行っている」わけではなく、緻密に設計された階層構造に基づいて管理されています。ここでは、NVIDIA CUDAを例に説明します。

スレッド、ブロック、グリッドの階層構造

CUDAでは、以下のような3階層の構造で並列処理を定義します。

• スレッド（Thread）：最小の計算単位
• ブロック（Thread Block）：複数のスレッドをまとめたもの。通常、1ブロックあたり数百スレッド
• グリッド（Grid）：複数のブロックを並べた構造。全体で1つのカーネル処理（GPUで実行される関数）を定義

行列演算の場合、例えば1つのスレッドが1つの出力要素 $C_{i,j}$ を計算するように割り当てることで、数百×数百の行列を一斉に処理することができます。

この「スレッドに仕事を割り当てる」という考え方は、行列演算の独立性と非常に相性が良く、スレッドごとに i, j を計算し、対応する $A_{i,:}$ と $B_{:,j}$ を用いて $C_{i,j}$ を求める処理に直結しています。

ワープ：32スレッド単位の実行単位

実際のGPUでは、スレッドは「ワープ（warp）」と呼ばれる単位（通常32スレッド）でまとめて実行されます。ワープ内のスレッドは、同じ命令を同時に実行することが求められます（SIMTモデル）。そのため、ワープ単位で処理を揃えることは、効率的な並列処理の鍵となります。

例えば、各ワープが4×8の行列ブロックを処理するように分担すれば、ワープ内でメモリのアクセスパターンも揃い、後述する**メモリのcoalescing（連続アクセス）**も達成しやすくなります。

メモリ階層と処理効率

GPUには複数のメモリ階層が存在し、アクセス速度に大きな違いがあります。

• グローバルメモリ：全スレッドで共有、ただし遅い
• 共有メモリ（shared memory）：同じブロック内で共有、非常に高速
• レジスタ：各スレッド専用、最も高速

この構造を利用し、たとえば行列ブロックを一時的に「共有メモリ」に読み込んでおけば、同じブロック内の他のスレッドが高速に参照できるため、計算速度を大幅に高めることができます。

共有メモリの使い方は行列演算の最適化の核心でもあり、タイル分割などの技術と密接に関わっています。このあたりの最適化手法は次章で詳しく扱います。

このように、GPUの構造は行列演算の独立性と並列性にうまくマッチしています。次章では、このマッチングをさらに高速に最適化するためのテクニックとその理論的背景について詳しく見ていきます。

5. 数学的観点：行列演算の計算量とデータ並列性

行列の掛け算は、数学的にも情報科学的にも基本かつ重要な処理の一つです。その計算量は単純な構造であっても膨大で、最適化の対象として研究され続けてきました。GPUによる並列化は、この計算の重さを克服するための最も実用的な手段の一つです。

行列積の計算量

まず基本に立ち返りましょう。行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times k}$、$B \in \mathbb{R}^{k \times n}$ の積を求めるとき、出力される行列 $C \in \mathbb{R}^{m \times n}$ の各要素は、$k$ 個の積と和から構成されていました。つまり、

• 要素ごとに：$O(k)$
• 要素数は：$m \times n$

したがって、全体としての計算量は

$$
O(m \times n \times k)
$$

です。これは、サイズが大きくなるほど指数的に重くなっていくため、大規模な行列積（たとえば画像処理やディープラーニングに登場する）では、現実的な計算時間では収まらないこともあります。

データ並列性とスレッド割り当て

このような計算負荷を軽減するために、GPUでは「データ並列性」を活用します。具体的には、以下のような戦略を取ります。

• 各スレッドが $C$ の1つの要素 $C_{i,j}$ を担当
• 必要な $A$ の行と $B$ の列だけを参照
• 全体で $m \times n$ スレッドを並列に起動

この設計によって、演算回数が多くても同時に処理できる範囲が大きいため、全体として高速化が可能になります。理論上、GPUのスレッド数が $m \times n$ に近づけば近づくほど、スループットが向上していきます（もちろん実際にはスレッドスケジューリングやメモリ制約があるため、理論値どおりにはなりませんが）。

また、行列積のように “構造が繰り返される”パターン をもつ演算は、スレッドごとの処理内容が非常に似通っているため、SIMTモデルに非常にフィットします。ワープ単位で同じ命令を発行しやすく、スレッド間の制御分岐も少ないため、GPUの演算器をフルに活かすことができます。

BLASとGEMM：最適化された行列演算の標準

行列演算における業界標準としてよく知られているのが、BLAS（Basic Linear Algebra Subprograms）です。その中でも特に頻繁に使われるのが、行列積を行う「GEMM（General Matrix Multiply）」です。

GEMMは以下のような形式をとります。

$$
C = \alpha AB + \beta C
$$

ここで、$\alpha, \beta$ はスカラー、$A, B, C$ は行列です。これはニューラルネットワークの計算やシミュレーションソルバーなどにそのまま使われる形であり、各種ライブラリ（CuBLAS、OpenBLAS、MKLなど）は、このGEMM演算の実装に非常に力を入れています。

これらのライブラリでは、タイル分割・ループ展開・レジスタ最適化・プリフェッチなど、計算とメモリアクセスのバランスを取るための高度な最適化が施されています。次章では、これらの最適化テクニックとその理論的背景について掘り下げていきます。

6. 実装に見る最適化：なぜGPUが高速なのか

行列演算はスレッドを多数起動することで高速化できますが、単に並列にすればよいというわけではありません。GPUの実力を最大限に引き出すには、メモリアクセスの効率化と演算の再利用性を意識した実装が求められます。

ここでは、代表的な2つの技術「タイル分割（Tiling）」と「共有メモリ（Shared Memory）」を軸に最適化の考え方を解説します。

タイル分割（Tiling）

行列演算では、ある行列の一部（部分行列）を小さな“ブロック”に分けて処理する「タイル分割」という手法がよく使われます。これにより、以下のような利点が得られます。

• 一度にアクセスするメモリ範囲を限定し、キャッシュや共有メモリに収まりやすくする
• タイル内のデータを再利用できるため、同じデータに何度もアクセスする必要がない
• 計算とデータ転送を分離して非同期処理をしやすくなる

たとえば、$1024 \times 1024$ の行列を $32 \times 32$ のブロックに分割し、それぞれのブロックごとにワープ単位で処理させる、というような構成が典型的です。

共有メモリの活用

GPUには、スレッドブロック内で共有できる高速な「共有メモリ」が用意されています。タイル分割と組み合わせることで、ブロックごとに必要な行列の一部をこの共有メモリに読み込んでおき、複数のスレッドが同じデータを繰り返し使うことができます。

たとえば、行列 $A$ の一行、行列 $B$ の一列をそれぞれ共有メモリにロードしておけば、ブロック内の全スレッドがそれを使って独立に $C_{i,j}$ を計算することができます。これは、グローバルメモリ（遅い）へのアクセス回数を最小限に抑える、非常に重要な最適化です。

メモリアクセス最適化とcoalescing

もう一つ重要なのが、「coalesced access（連続メモリアクセス）」です。GPUのグローバルメモリは、スレッド群が連続したアドレスにアクセスするときに最も効率よく読み書きができます。

したがって、タイルの配置やアクセス順序を工夫し、スレッド0〜31がアドレス100〜131にアクセスするようなパターンにすることで、メモリアクセスをボトルネックにしないような設計が可能になります。

実例：CUDAにおける最適化GEMMカーネル（概略）

__shared__ float Asub[32][32];
__shared__ float Bsub[32][32];
int tx = threadIdx.x;
int ty = threadIdx.y;

for (int t = 0; t < N / 32; ++t) {
  Asub[ty][tx] = A[row * N + t * 32 + tx];
  Bsub[ty][tx] = B[(t * 32 + ty) * N + col];
  __syncthreads();

  for (int k = 0; k < 32; ++k)
    Cvalue += Asub[ty][k] * Bsub[k][tx];

  __syncthreads();
}

このコードでは、

• __shared__ で高速な共有メモリを利用
• __syncthreads() でスレッド間の同期を確保
• 各スレッドが1要素を担当し、タイルごとに演算を進めていく

という構造になっており、理想的なタイル型GEMMの実装の基本形となっています。

7. 応用例：GPU行列演算の実世界での活用

行列演算は、科学技術計算や産業応用において非常に広い範囲で登場します。GPUによる高速な行列計算は、これらの分野で「現実的な実行時間で問題を解ける」ことを可能にしており、多くのシステムや研究開発の基盤を支えています。

ディープラーニング

GPUが最も広く普及したきっかけの一つが、深層学習（ディープラーニング）です。ニューラルネットワークの学習と推論の過程では、入力データに対して重み行列との積を繰り返し計算します。これは本質的に大量の行列積で構成されており、GEMM演算が中心的な役割を担っています。

たとえば、以下のような処理が典型的です：

• 畳み込み層の内部演算（実質的に行列積に変換）
• 全結合層の出力計算（重み行列 × 入力ベクトル）
• バッチ学習における並列計算（行列 × 行列）

GPU上でこれらの処理を最適化することが、深層学習モデルの学習時間を現実的な水準に抑える鍵となっています。

科学技術計算・シミュレーション

物理、化学、生物などの分野では、微分方程式や行列の固有値問題を含むシミュレーションが数多く行われます。たとえば、以下のようなケースが挙げられます：

• 粒子法（SPH）や格子ボルツマン法（LBM）などの流体シミュレーション
• 分子動力学法（MD）による構造解析
• 有限要素法（FEM）や有限差分法（FDM）による構造計算

これらは計算格子や状態変数を巨大な行列で管理するため、GPUによる並列行列演算の恩恵を非常に大きく受けます。

金融工学・統計解析

金融の分野では、リスク評価やポートフォリオ最適化において、共分散行列の計算や主成分分析（PCA）といった統計的手法が用いられます。これらの処理は、いずれも行列積や固有値分解を含みます。

また、確率的なシミュレーションを用いるモンテカルロ法では、多数のパスを同時に生成・演算する必要があり、行列計算と並列サンプリングが非常に重要になります。

グラフィックス・コンピュータビジョン

GPU本来の用途でもあるグラフィックス処理においても、行列演算は極めて基本的です。代表的な例としては：

• 3Dオブジェクトの回転・平行移動・透視投影（変換行列の適用）
• レンダリング時のライティング計算
• コンピュータビジョンでの画像変換、フィルター処理、特徴抽出

これらはほとんどがベクトル・行列形式で記述されており、GPUの並列処理能力が最大限に発揮される場面です。

クラウド計算と分散GPU環境

近年では、単一GPUにとどまらず、クラスタ構成で複数のGPUを分散的に用いるシステム（NVIDIA NCCL, Horovodなど）も一般的になっています。こうした分散行列演算の最適化も、今や計算科学・AI業界にとっての重要な研究・開発課題です。

ここまで見てきたように、GPUによる行列演算の高速化は、単なる理論的技術ではなく、現実の応用現場で中心的な役割を果たしています。

8. まとめ：GPUが行列演算に強い本質的な理由

行列演算は、数学的に見ても計算機科学的に見ても、本質的に並列性の高い処理です。そしてGPUは、この「並列性」に特化した構造をもつことで、汎用CPUでは難しい規模の問題を現実的な時間で処理できるようにしました。

ここまで見てきたGPUの強みは、単に「コアの数が多い」ことにとどまりません。

• SIMTモデルに基づくスレッド制御：類似処理を束ねて高速に実行
• スレッドブロックとグリッドによる大規模なデータ並列処理：行列の各要素を独立に計算できる構造にフィット
• 共有メモリの活用によるデータ再利用と高速なローカル通信：タイル分割と組み合わせることでメモリ帯域のボトルネックを緩和
• coalesced accessの設計によるグローバルメモリ最適化：スレッドのアクセスパターンを工夫することで、実行性能を大きく向上
• GEMMのような標準化された演算モデルと、それに最適化されたライブラリの存在：cuBLAS、TensorRTなどの実装が最適な手法を自動的に選択してくれる

これらすべてが「行列積の独立性と繰り返し性」という数学的構造と密接にかみ合っており、GPUにおける行列演算の高速性を理論的に裏付けています。

さらに、ディープラーニングをはじめとした現代の大規模アルゴリズムでは、行列計算が「処理の本体そのもの」になっていることも多く、GPUの最適化と数学的知識を結びつける意義はますます大きくなっています。

今後、量子コンピューティングや新しい数値表現（例：FP8、BFloat16など）が普及していく中でも、「並列性をどう活かすか」という設計思想は変わることなく続いていくでしょう。

本記事が、GPUと数学的アルゴリズムの関係性をより深く理解する一助になれば幸いです。

参考文献・資料一覧

1. NVIDIA 公式資料・ドキュメント

• CUDA C Programming Guide (NVIDIA)
  GPUのスレッドモデル、SIMT、メモリ階層、最適化など、CUDAのすべてが詰まった公式ドキュメント。

• NVIDIA cuBLAS Library Documentation
  GEMMや行列演算に特化したライブラリcuBLASの公式解説。GEMMの使い方、パフォーマンス指標などが丁寧に説明されています。

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2. 数値線形代数・GEMM関連

• Goto, Kazushige and van de Geijn, Robert A.,
  "Anatomy of High-Performance Matrix Multiplication"
  数値線形代数ライブラリの高速化に関する名著。タイル分割、キャッシュ最適化、ループ再構成の理論と実装が詳しいです。

• Intel MKL Developer Guide
  https://www.intel.com/content/www/us/en/developer/tools/oneapi/onemkl-documentation.html
  Intelの行列演算ライブラリにおけるBLAS/GEMMの解説。GPUではないが、最適化の観点で通じる部分が多く参考になります。

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3. 学術・理論寄りの資料

• Volkov, Vasily and Demmel, James.
  "Benchmarking GPUs to tune dense linear algebra"
  GPUと線形代数の性能最適化に関するアカデミックな分析。性能ボトルネックの原因や、メモリアクセス戦略の指針が明確に示されています。

• Kirk, David B., and Hwu, Wen-mei W.
  Programming Massively Parallel Processors: A Hands-on Approach
  CUDAの並列アルゴリズム設計に関する定番教科書。SIMTの理論や、スレッド間同期、メモリ分離の考え方が詳しいです。

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4. 日本語の解説記事・技術ブログ

• GPUと行列積が相性抜群な理由（Qiita）
  タイル分割やcuBLASの概要を簡潔に解説しており、初心者の導入に良い内容です。

• CuPy × NumPy ベンチマーク比較（Qiita）
  GPUとCPUによる行列積の速度差を実測して比較。Pythonユーザー向け。

• 行列演算をGPUで爆速に！CuPy入門（Zenn）
  NumPyとの互換性を保ちつつ、GPUで高速演算するCuPyの実践記事。

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5. 関連ライブラリ（公式）

• CuPy (by Preferred Networks)
  PythonベースでGPUを活用できるNumPy互換ライブラリ。

• PyTorch GEMM実装例
  PyTorch内部ではcuBLASを使ってGEMMを処理しており、APIの裏でGPU最適化が行われています。

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