本日の微分方程式（16日目）

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問題

積分因子を用いて，以下の微分方程式の一般解を求めよ．

\begin{align}\tag{1}
y^\prime +\frac{2y}{x} = 4x.
\end{align}

ポイント

• $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$ の形式の微分方程式は，一階線形微分方程式と呼ばれます．
• 積分因子とは， $e^{\int P(x)\mathrm{d}x}$ のことです．一階線形微分方程式は，積分因子をかけることで，左辺が積の微分の形になります．
• 一階線形微分方程式については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．

解説

まずは積分因子を具体的に求めていきましょう．
$P(x)=\dfrac{2}{x},~Q(x) = 4x$ ですから，

\begin{align}\tag{2}
e^{\int P(x)\mathrm{d}x}
&=e^{\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x}\\
&=e^{2\log |~x~|}\\
&=e^{\log |~x~|^2}\\
&=e^{\log x^2}\\
&=x^2,
\end{align}

と求まります（ここの積分においては，$P(x)$ の原始関数を1つ求めるだけでいいので，任意定数は不要です．参考）．

これを与えられた微分方程式（1）の両辺にかけていきましょう．

\begin{align}\tag{3}
y^\prime\times x^2 +\frac{2y}{x}\times x^2 &= 4x\times x^2\\
\therefore y^\prime\times x^2 +y\times 2x &= 4x^3.\\
\end{align}

さて，左辺は積の微分の形になっているはずです．
積の微分公式 $\left(f(x)g(x)\right)^\prime = f(x)^{\prime}g(x)+f(x)g(x)^{\prime}$ と，にらめっこしてみましょう．
$f(x)=y,~g(x)=x^2$ としてみれば，$\left(f(x)g(x)\right)^\prime$は，

\begin{align}\tag{4}
(y\times x^2)^\prime = y^\prime\times x^2 + y\times 2x,
\end{align}

と表すことが出来ます．紛れもなく式(3)の左辺と一緒です．
したがって，式(4)の結果を式(3)に代入すれば，

\begin{align}\tag{5}
(y\times x^2)^\prime = 4x^3,
\end{align}

との関係式を得ます．後は両辺を $x$ で積分して完了です．

\begin{align}\tag{6}
\int (y\times x^2)^\prime \mathrm{d}x&= \int 4x^3\mathrm{d}x,\\
y\times x^2&= \int 4x^3\mathrm{d}x,\\
y\times x^2&= x^4 +C~~~(C:任意定数),\\
\therefore y&= x^2 +\frac{C}{x^2}~~~(C:任意定数),\\
\end{align}

【参考】 Wolframalpha

非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．