またまた本日も積分因子の問題です．
こんなんなんぼやったって良いですからね（ほんとに）．
明日からは，定数変化法を使って解いていこうと思います．
前回の内容はこちら
問題
積分因子を用いて，以下の微分方程式の一般解を求めよ．
\begin{align}\tag{1}
y^\prime +\frac{4y}{x} = \sin2x.
\end{align}
ポイント
- $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$ の形式の微分方程式は，一階線形微分方程式と呼ばれます．
- 積分因子とは， $e^{\int P(x)\mathrm{d}x}$ のことです．一階線形微分方程式は，積分因子をかけることで，左辺が積の微分の形になります．
- 一階線形微分方程式については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．
解説
まずは積分因子を具体的に求めていきましょう．
$P(x)=\dfrac{4}{x},~Q(x) = \sin 2x$ ですから，
\begin{align}\tag{2}
e^{\int P(x)\mathrm{d}x}
&=e^{\int \frac{4}{x}\mathrm{d}x}\\
&=e^{4\log |~x~|}\\
&=e^{\log |~x~|^4}\\
&=e^{\log x^4}\\
&=x^4,
\end{align}
と求まります（ここの積分においては，$P(x)$ の原始関数を1つ求めるだけでいいので，任意定数は不要です．参考）．
これを与えられた微分方程式（1）の両辺にかけていきましょう．
\begin{align}\tag{3}
y^\prime\times x^4 +\frac{4y}{x}\times x^4 &= \sin2x\times x^4\\
\therefore y^\prime\times x^4 +y\times 4x ^3&= x^4\sin2x.\\
\end{align}
さて，左辺は積の微分の形になっているはずです．
積の微分公式 $\left(f(x)g(x)\right)^\prime = f(x)^{\prime}g(x)+f(x)g(x)^{\prime}$ と，にらめっこしてみましょう．
$f(x)=y,~g(x)=x^2$ としてみれば，$\left(f(x)g(x)\right)^\prime$は，
\begin{align}\tag{4}
\left(y\times x^4\right)^\prime = y^\prime\times x^4 +y\times 4x ^3,
\end{align}
と表すことが出来ます．
紛れもなく式(3)の左辺と一緒です．
したがって，式(4)の結果を式(3)に代入すれば，
\begin{align}\tag{5}
\left(y\times x^4\right)^\prime = x^4\sin2x,
\end{align}
との関係式を得ます．後は両辺を $x$ で積分して完了です．
\begin{align}\tag{6}
\int \left(y\times x^4\right)^\prime \mathrm{d}x&= \int x^4\sin2x\mathrm{d}x,\\
y\times x^4&= \int x^4\sin2x\mathrm{d}x,\\
y\times x^4&= -\frac{1}{2}x^4\cos2x+x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos2x-\frac{3}{2}x\sin2x-\frac{3}{4}\cos2x +C~~~(C:任意定数),\\
\therefore y&= -\frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sin 2x}{x}+\frac{3\cos2x}{2x^2}-\frac{3\sin2x}{2x^3}-\frac{3\cos2x}{4x^4}+\frac{C}{x^4}~~~(C:任意定数).\\
\end{align}
【補足】 瞬間部分積分
最後の式の部分積分は，俗に言う瞬間部分積分と呼ばれるもので暗算しています．
（まともに計算をしても良いのですが，$\LaTeX$ で書くのが面倒だったのもあります．）
\begin{align}
\int f(x)g(x)\mathrm{d}x &= f^{(0)}g^{(-1)}-f^{(1)}g^{(-2)}+f^{(2)}g^{(-3)}-f^{(4)}g^{(-4)}+f^{(5)}g^{(-5)}-\cdots\\
\int x^4\times \sin 2x\mathrm{d}x &=-\frac{1}{2}x^4\cos2x+x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos2x-\frac{3}{2}x\sin2x-\frac{3}{4}\cos2x +C
\end{align}
詳しくは，ヨビノリさんの動画をご参照ください．
【参考】 Wolframalpha
非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．