近似値クイズで、AIは「最適解」を見つけられるか？

はじめに

GeminiとChatGPTの2つのAIに少し意地悪な最適化問題を解かせ、その実力を検証しました。
数理モデルで得られる「最適解」に対して、AIがどれだけ近い解を見つけられるかを見ていきます。

問題：近似値クイズ（数字の重複禁止）

AIにDeepResearchで解いてもらった問題は、以下の通りです。

下記の4つの問題の「#」に数字を埋めてください。

1. IPv4のビット数 = ##
2. ピアノの鍵盤の数 = ##
3. 北岳の標高 = 3###
4. 周期表の元素数 = ###

**ルール**
* 「#」は0から9のどれかを入れること
* 「#」に同じ数字を使わないこと
* 問題の解答と数字の差の和を最小化すること

正解とルールを満たす解答

本来の正解は次のとおりです。

• IPv4のビット数 = 32
• ピアノの鍵盤数 = 88
• 北岳の標高(m) = (3)193
• 元素の数 = 118

このままでは数字の「1」や「8」が重複しているため、ルールを満たせません。そこで、ルールを守りつつ、誤差の合計が最も小さくなる組み合わせを探すのがこの問題のゴールです。

数理最適化ソルバーで厳密解を求めたところ、最小誤差は44であることがわかりました。この最小誤差を達成する解の組み合わせは12通りあり、その一例がこちらです。

問題	解答例1	解答例2
IPv4のビット数	32	32
ピアノの鍵盤数	86	74
北岳の標高	(3)174	(3)186
周期表の元素数	95	95
誤差合計	44	44

※ 周期表の元素数（3桁）の解答が95のような2桁になる場合は、095と解釈します。

Gemini 2.5 Proの解答

Geminiは、やや決め打ちのような推論で、以下の解を導き出しました。

• 解答
  • IPv4のビット数: 67
  • ピアノの鍵盤数: 89
  • 北岳の標高: (3)204
  • 周期表の元素数: 135
• 使用数字: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (重複なし)
• 誤差の合計: 64
  • $|67-32| + |89-88| + |3204-3193| + |135-118| = 35 + 1 + 11 + 17 = 64$

最適解には及びませんでしたが、複雑な制約を理解して解を生成しました。

ChatGPTの解答

一方、ChatGPTは思考過程を示さなかったものの、次の解答を提示しました。

• 解答
  • IPv4のビット数: 35
  • ピアノの鍵盤数: 89
  • 北岳の標高: (3)206
  • 周期表の元素数: 147
• 使用数字: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (重複なし)
• 誤差の合計: 46
  • $|35-32| + |89-88| + |3206-3193| + |147-118| = 3 + 1 + 13 + 29 = 46$

誤差46は、最適解(44)にかなり近い値です。

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まとめ（総評）

今回の検証結果をまとめます。

	最適解	ChatGPT	Gemini
誤差合計	44	46	64

両モデルとも、まずは各問題の本来の正解（32, 88, 3193, 118）を把握した上で、数字を重複させないという制約を満たすために、各数値を調整するアプローチをとっているようでした。

最適解を見つけることはできませんでしたが、ChatGPTの結果は最適解に近いです。これが偶然か工夫された推論かは不明ですが、このようなちょっと難しい最適化問題でも「それなりに良い解」が得られるのは興味深いです。

付録（数理最適化による解法）

以下のPythonコードを使えば、数理最適化で最小誤差の解を求められます。

import numpy as np
from mip import Model, minimize, xsum

m = Model()
nd = [2, 2, 3, 3]  # 桁数
ans = [32, 88, 193, 118]  # 正解

# 問題ごと・桁ごと・（1〜9の）数字ごとの0-1変数
xs = [
    m.add_var_tensor((nd[i], 9), f"x{i}", var_type="B")
    for i in range(4)
]
# 問題ごとの数字
ys = np.array([
    sum(xsum(xs[i][j] * range(1, 10)) * 10**j for j in range(nd[i]))
    for i in range(4)
])
# 問題ごとの誤差
zs = m.add_var_tensor((4,), "z")
# 全問題の桁ごと数字ごとの0-1変数
vs = np.vstack(xs)

m.objective = minimize(xsum(zs))  # 目的関数

for vx in vs:
    m += xsum(vx) <= 1  # 各桁は1つの数字をとる
for vw in vs.T:
    m += xsum(vw) == 1  # 各数字は一度しか使えない
for i in range(4):
    m += zs[i] >= ys[i] - ans[i]
    m += zs[i] >= ans[i] - ys[i]

m.optimize()
print(m.status, m.objective_value)
print(ys.astype(float))

結果

OptimizationStatus.OPTIMAL 44.0
[ 32.  86. 174.  95.]