フィボナッチ数列の隣り合う2項の比率をグラフに表してみる

フィボナッチ数列とは

フィボナッチ数列は数学Ⅲの漸化式でやりますよね。

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ...$

という具合に、初項が $F_1 = 1, F_2 = 1$

そして $\quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \quad (n \geq 1)\quad $ という漸化式であらわされる数列です。
（0から始める場合もある）

この数列はとても不思議な性質を持っていて、その一つに隣り合う2項の比
$\large \frac{F_n}{F_{n-1}}$ の極限が黄金比に収束するというもの。

つまり

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{F_n}{F_{n-1}} = 1.6180339887498948482...$$

となることを示しています。

今回は、それを完全な形ではありませんが、視覚的に表現してみようと思います。

Pythonでのグラフの描画

Pythonのグラフ描画モジュールの扱いに慣れていないため、コードが汚いですが気にしないでください。

python

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

a = [1, 1]
x = []
ratio_list = []

for i in range(0, 10):
    x.append(i+3)
    a.append(a[i] + a[i+1])
    ratio = a[-1] / a[-2]
    ratio_list.append(ratio)

# 漸近線の表示
y1 = 1.6180339887
plt.axhline(y=y1, xmin=0, xmax=13, c='blue', ls='--')

# 比率のグラフ
plt.xlim([2, 13])
plt.ylim([1.45, 2.05])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('$\\frac{F_x}{F_{x-1}}$', rotation=0)
plt.xticks(x)
plt.grid(which="major", color="black", alpha=0.5)
plt.plot(x, ratio_list, c='red', marker="o")

# 表示
plt.show()

下図の青色の破線が黄金比の近似値 $y = 1.6180339887$ を表しています
隣り合う2項の比が早い段階で黄金比へ収束していることがわかります。

追記

フィボナッチ数列関連の処理はこっちの方がスマートでよさそうです

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def gen_fibonacci(num):
    a = 1
    b = 1
    x = []
    ratio_list = []
    for i in range(1, num):
        x.append(i + 1)
        ratio_list.append(b / a)
        (a, b) = (b, a + b)
    return x, ratio_list


# 漸近線の表示
y1 = 1.6180339887
plt.axhline(y=y1, c='blue', ls='--')

# 比率のグラフ
plt.xlim([1, 11])
plt.grid(which="major", color="black", alpha=0.5)
plt.title('Ratio of x items to x-1 items')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('$\\frac{F_x}{F_{x-1}}$', rotation=0)
plt.xticks(gen_fibonacci(10)[0])
plt.plot(gen_fibonacci(10)[0], gen_fibonacci(10)[1], c='red', marker="o")

# 表示
plt.show()