Pythonで極座標のヤコビ行列を作る

なぜ今ヤコビ行列なのか

先日、久しぶりにお会いした研究室の先輩がヤコビアンについて熱く語っていたから

極座標のヤコビ行列

直交座標(x,y)から極座標(r,θ)の変換式は次の通り

\displaylines{
 x = r\cos\theta \\
 y = r\sin\theta
}

これのヤコビ行列は次の通りとなる

\displaylines{
    \begin{pmatrix}
        \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
        \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        \cos\theta & -r\sin\theta \\
        \sin\theta & r\cos\theta
    \end{pmatrix}
}

pythonで実現

jacobian.py

import numpy as np

def jacob_array(r, theta):
    return np.array([[np.cos(theta), -r*np.sin(theta)],[np.sin(theta), r*np.cos(theta)]])

# r=1, theta=0の場合
j = jacob_array(1,0)

print(j)

実行結果

python jacobian.py
[[ 1. -0.]
 [ 0.  1.]]