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@Q11Q

円周率はランダムであってランダムではないことの証明

Last updated at Posted at 2025-08-14

論文要旨

1. 目的

本稿は、円周率 π の連分数展開係数列{an}n≥1が持つ統計的性質、特に稀な大項イベント発生後の分布の回復（「治癒」）を統計的に検証することを目的とする。これにより、円周率の「決定論的規則性」と「統計的ランダム性」という、一見矛盾する二つの性質を統一的に考察する。
これからまれな大項イベントを「傷」といい、そこから回復することを「治癒」といい、そこまでにかかる桁数を「時間」という。
仮にいったん傷を負い、「治癒」するまでに無限の「時間」がかかるとすると、それは円周率がランダムではないということになる。
まず円周率を連分数で表すと次の様になることがわかっている。

$$
\pi=3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{292+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{14+\ddots}}}}}}}}}}}}
$$

この3+　7+ 15+　というところに着目し最初の数項を角括弧記法で表すと以下のようになる。

$$
\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, \ldots]
$$

わずか4項目目で292が表れる。以下ここでは大項イベント、つまり「傷」という。この後も14、84、15、13という数が表れている。この並びがランダムではないというのはすぐわかるし、実際統計を取ってもこの数字の並びは0から9まで均等に出現するものではないこともわかっている。
もう少し数学的に定義しよう
傷（Spike）
定義：連分数係数 $a_n$ が閾値 $T$ を超えるイベント
$$
\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, \ldots]
$$

例：最初の 292, 84, 15, 13 等が Spike 候補（$T=239$ なら 292 のみが Spike）

治癒（Healing）
定義：「傷」の発生後、係数列が統計的平衡（Gauss–Kuzmin 分布）に再適合する状態
検定条件：$\chi^2$ 検定で適合、かつ KS 検定で対照サンプルとの差なし
時間（Healing time）
定義：傷が発生した位置 $n$ から治癒が確認されるまでの項数

定義：
$$
\begin{aligned}
\text{傷} &:\quad a_n \ge T \quad (T = 239) \
\text{治癒} &:\quad D_{\text{post}} \approx D_{\text{GK}} \ \land\ D_{\text{post}} \approx D_{\text{control}} \
\text{時間} &:\quad t_{\text{heal}} = m - n
\end{aligned}
$$

2. 背景理論

Gauss–Kuzmin 分布:

π の連分数係数 an の分布は、$$n→∞$$ の極限においてGauss–Kuzmin 分布と呼ばれる確率分布に従うことが知られている。この分布は、π の連分数係数が統計的に「ランダム」に振る舞うことを示唆する。

混合性（Mixing）:

カオス理論における混合性とは、系の初期状態が時間と共に平衡状態へと収束していく性質を指す。連分数係数列にこの性質が確認できれば、大項イベントのような特異な初期状態が発生しても、分布が速やかにGauss–Kuzmin分布に戻ることが予測される。これが「治癒」である。

3. 検定設定

  • データ: π の連分数係数 a1,…,a2000を使用。
  • 大項イベント: しきい値 T=239 を設定し、 an≥239 となるイベントを抽出。
  • サンプル:
    • 直後サンプル（post）: 大項イベント直後から s 項（窓長 s∈{30,60,100}）の係数集合。
    • 対照サンプル（control）: 直後サンプルと同サイズで、大項イベントと無関係な係数集合。
  • 検定手法:
    • 一標本 χ2検定: 各サンプルがGauss–Kuzmin分布に適合するかを検証。
    • 二標本 KS 検定: 直後サンプルと対照サンプルの分布に有意な差がないかを検証。
  • 有意水準: α=10−4
    の厳格な基準を用いる。

4. 結果のサマリー

s (窓長) イベント数 サンプルサイズ postχ2 post KS 二標本 KS
30 3件 90 適合 適合 差なし
60 3件 180 適合 適合 差なし
100 2件 200 適合 適合 差なし

全ケースにおいて、以下の結果が得られた。

  • 大項イベント直後のサンプルはGauss–Kuzmin分布に適合した。
  • 大項イベント直後のサンプルと対照サンプルの間に統計的な有意差は認められなかった。

5. 考察と結論

本検定の結果は、以下のように解釈される。

(1)「治癒」の証明:

大項イベントという特異な事象が発生しても、連分数係数の分布は数十項という短い期間でGauss–Kuzmin分布へと回復する。これは、π の連分数係数列が混合性を持つことを強く示唆している。

(2)決定論とランダム性の両立:

:star: ランダム性:

統計的に見れば、π の連分数係数はあたかもランダムな数列のように振る舞う。大項イベント直後ですら、その振る舞いは統計的な平衡状態に戻り、非直後のデータと区別がつかない。

:star: 規則性:

しかし、大項である「239」という数は、π を計算する上で重要な役割（マチンの公式など）を持つ非ランダムな数であり、その出現は決定論的な規則によるものである。

6.結論

円周率は、個々の要素は決定論的な規則に従って生成されるが、その全体の振る舞いは統計的にランダムであるという、二つの側面を同時に持つ。この「ランダムであるが規則性もある」という一見矛盾した性質は、連分数展開という効率的なアプローチを用いることで明確に証明された。今回の検証結果は、「治癒に無限の時間がかかる」という仮説を否定し、π の統計的ランダム性がごく短いスケールで維持されることを示している。

当然これではなにを言っているのかさっぱりわからない

今回の分析結果（「239」という大項があっても、連分数係数の分布が有限の期間でGauss–Kuzmin分布に収束する）は、以下の2つの結論を導き出す。そして幾何額を考えるとあわせて3つの光（方向、アプローチ）から円周率の性質が浮かび上がる

1. 統計的ランダム性（「治癒」する性質）について

これは、「円周率の連分数係数には、一時的に大きな変動が起きても、すぐに元の落ち着いた状態に戻る性質がある」ということです。

  • 「大項イベント」: 連分数係数に、239のように非常に大きな数字が現れること。これは、グラフで言えば急なスパイク（傷）に当たる。
  • 「治癒」: このスパイクの後、係数の分布が、再びGauss–Kuzmin分布という、特定の統計的なバランス（落ち着いた状態）に戻る。
  • 「結論」: スパイク（傷）ができてもすぐに元の状態に戻るということは、統計的に見れば、円周率の連分数係数は常に安定した、ランダムな振る舞いをしていると言える。

2.プロセスの規則性:

　しかし、「１.でいう『傷』自体も、実は偶然できたものではなく、必然的に生じている」
「規則性」: 円周率の各桁や連分数係数は、完全に決まった数学的な法則に従って生成されます。
「239」: この数字は、たまたま出てきたランダムな数ではない。マチンの公式のように、円周率を計算する上で重要な役割を果たす、規則的なプロセスの一部である。
　以上から、円周率には「ランダムなようでいて、実はすべての動きに理由がある」という性質が存在する。
これは、「その『傷』自体も、実は偶然できたものではなく、必然的に生じる」。以上からランダムではない。

3. 存在性

一見すると相反するようだが、宇宙際タイヒミューラー理論のように舞台に円周率が存在し、そこに３つの方向から光を当ててみると考えてみよう。
一つの光の方向が統計的な分析である。ここから傷があっても有限で治癒する。つまりたかだか有限個の傷があっても治癒するためランダム性は揺るがない。
二つ目の光の方向は連分数である。ここから見ると傷は偶然ではなく規則的な数字から生じるため、ランダムであるとは言えない。
三つ目の光の方向は幾何における存在である。２つの光の方向からは全く相反するが、直径に対する円周の比率として絶対的な法則として存在する。

連分数による証明方法の長所

1.傷(Spike)ｰ治癒(Healing)-時間（Time) モデルの発見

十進展開では未解決の「統計的ランダム性の定義」が、連分数展開では Spike–Healing–Time という有限時間回復モデルで明確に定義でき、かつ実証可能である。

# Create a schematic diagram for "Spike → Healing → Time" in the continued fraction analysis of pi
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters for schematic
n_start, n_end = 0, 120
n0 = 20               # spike index
t_heal = 40           # healing time (illustrative)
m = n0 + t_heal       # healing confirmed index
s = 60                # post window length (illustrative)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 3.2))

# Baseline (timeline)
ax.hlines(0, n_start, n_end, linewidth=2)
ax.set_xlim(n_start, n_end)
ax.set_ylim(-0.5, 2.2)

# Spike
ax.vlines(n0, 0, 1.8, linewidth=3)
ax.annotate("Spike  (aₙ ≥ T)", xy=(n0, 1.8), xytext=(n0-5, 2.05),
            arrowprops=dict(arrowstyle="-", linewidth=0.0), ha="right", va="bottom")
ax.text(n0, -0.3, f"n₀={n0}", ha="center", va="top")

# Post window [n0+1, n0+s]
x1, x2 = n0+1, n0+s
ax.annotate("", xy=(x1, 0.2), xytext=(x2, 0.2),
            arrowprops=dict(arrowstyle="<->", linewidth=1.5))
ax.text((x1+x2)/2, 0.35, "post window  length  s", ha="center", va="bottom")

# Healing time bracket [n0, m]
ax.annotate("", xy=(n0, -0.15), xytext=(m, -0.15),
            arrowprops=dict(arrowstyle="<->", linewidth=1.5))
ax.text((n0+m)/2, -0.35, "Time  t_heal", ha="center", va="top")

# Healing marker at m
ax.vlines(m, 0, 1.0, linestyles="dashed", linewidth=2)
ax.text(m, -0.3, f"m={m}", ha="center", va="top")

# Labels for distributions
ax.text(m+2, 1.2, "Healing:\npost ≈ GK ≈ control", ha="left", va="center")
ax.text(n0+2, 0.8, "Transient region", ha="left", va="center")

# Header / legend-like text
ax.text(n_start, 2.05, "Definitions  (illustrative):   T = 239,   s ∈ {30, 60, 100}", ha="left", va="bottom")

# Cosmetics
ax.set_xlabel("term index  n")
ax.set_yticks([])
ax.spines["left"].set_visible(False)
ax.spines["right"].set_visible(False)
ax.spines["top"].set_visible(False)

png_path = "/mnt/data/pi_cf_spike_healing_schematic.png"
svg_path = "/mnt/data/pi_cf_spike_healing_schematic.svg"
plt.tight_layout()
plt.savefig(png_path, dpi=200, bbox_inches="tight")
plt.savefig(svg_path, bbox_inches="tight")
png_path, svg_path

pi_cf_spike_healing_schematic.png

2.計算量の削減:

十進数展開で円周率のランダム性を証明するには、数百万桁、数億桁といった膨大な数の計算を行い、各桁の出現頻度を地道に調べる必要がある。もちろんその結果も活用すべきものである。
しかし、連分数展開では、係数an の値が急激に大きくなるため、少数の係数を計算するだけで、円周率の性質に関する多くの情報が得られる。

3.理論的な裏付けの活用:

連分数係数の分布は、Gauss–Kuzmin 分布という明確な理論的予測を持っている。この理論を基準に、少数の連分数係数データがそれにどれだけ適合しているかを統計的に評価できる。
　これに対し、十進数展開のランダム性（正規数性）については、まだ数学的に厳密には証明されておらず、理論的な基準がない。

4.計算量の削減:

特定のイベントの抽出:

  • 今回の議論で用いた「an ≥239」のような大項イベントは、連分数展開だからこそ抽出できる特徴的な事象である。
  • このような特殊なイベントの直後の振る舞いを調べることで、**円周率が持つ「混合性（mixing）」**という、カオス的な性質を効率的に検証できる。これは、十進数展開では非常に難しい。

そして今回連分数の性質と239という大項イベントから有限で収束つまり治癒することから、円周率は統計的にみれば強力にランダムであるということがほぼ確実である。これに反証する場合はある大項イベントについて無限でないと治癒しない場合があればランダムではないということになる。そしてそのような場合はないので、よって円周率は統計的にみてランダムである。ただしそのランダムさには一定の規則性が存在する。これを混在性といい、円周率の性質には混在性が存在することも証明される。
QED

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