前置き

通常のウィンドウでリサイズグリップを有効にしたい場合、Window.ResizeModeプロパティにCanResizeWithGripをセットすると有効になります。

※例 Visual Studio 2013のリサイズグリップ

しかし、(カッコイイ枠なしウィンドウを作るために)WhindowChromeを使っていた場合、ただリサイズグリップが表示されるだけで、ドラッグしてもウィンドウサイズを変更できません。

※リサイズできない

解決方法

この問題を解消するためにはWindowChrome.ResizeGripDirection添付プロパティを使います。
素晴らしいことに、このプロパティを添付されたコントロールは リサイズグリップになってしまうのです！
(おまけに最大化状態では無効になるという親切設計)

通常のリサイズグリップを再現するには、右下に配置したコントロールにWindowChrome.ResizeGripDirection="BottomRight"を設定すると良いです。

サンプルコードはこんな感じです。

<Window x:Class="WpfApplication2.MainWindow"
        xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation"
        xmlns:x="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml"
        WindowStyle="None"
        Title="MainWindow" Height="350" Width="525">
    
    <WindowChrome.WindowChrome>
        <WindowChrome ResizeBorderThickness="1"
                      CaptionHeight="40"/>
    </WindowChrome.WindowChrome>
    
    <Grid>
        <Grid.RowDefinitions>
            <RowDefinition Height="*"/>
            <RowDefinition Height="Auto"/>
        </Grid.RowDefinitions>

        <Grid Grid.Row="1"
              Background="LightGray">
            <Grid.ColumnDefinitions>
                <ColumnDefinition Width="*"/>
                <ColumnDefinition Width="Auto"/>
            </Grid.ColumnDefinitions>
            
            <TextBlock Grid.Column="1"
                       WindowChrome.ResizeGripDirection="BottomRight"
                       Background="BlueViolet"
                       Foreground="White"
                       Padding="5"
                       VerticalAlignment="Center"
                       Text="右下"/>
        </Grid>
    </Grid>
</Window>

これだけで"右下"と表示されたTextBlockがリサイズグリップとして振舞います。コードビハインドも無くとっても簡単です。
仮にこのTextBlockど真ん中に配置されていてもWindowChrome.ResizeGripDirection="BottomRight"が設定されていれば右下のグリップハンドルとして振舞います。

これを実行するとこうなります。

参考

WindowChrome.ResizeGripDirection アタッチされるプロパティ

ResizeGripDirection 列挙体