画面上で選択中の文字列を取得するにはSelection APIを使用します。

import { useCallback, useEffect } from 'react'

export function Sample() {
  const handleSelectionChange = useCallback(() => {
    const selection = document.getSelection()
    console.log(selection?.toStoring()) // 選択されている文字列をコンソールに出力
  }, [])

  useEffect(() => {
    document.addEventListener('selectionchange', handleSelectionChange)

    return () => {
      document.removeEventListener('selectionchange', handleSelectionChange)
    }
  }, [handleSelectionChange])

  return (
    <p>
      サンプルのテキスト。サンプルのテキスト。サンプルのテキスト。サンプルのテキスト。サンプルのテキスト。
    </p>
  )
}