Bayes 推論の基礎と「影が上にできる」凹凸推定の例

自由エネルギー原理を学ぶ過程で、「感覚データから世界モデルを更新する仕組み」としてBayes推論が核心にあるため、備忘録として以下に整理してみました。

1. Bayes 推論の枠組み

隠れ状態（原因）を x、観測データ（感覚信号）を y とすると、次の 4 つの確率を定義できます。

1.1 事前確率 (Prior)

$$
p(x)
$$

• 観測前に「状態 x である」と予め知っている確率

1.2 条件付き確率 (Likelihood / 尤度)

$$
p(y \mid x)
$$

• 隠れ状態が x のときに「感覚信号 y が観測される」確率

1.3 周辺尤度 (Evidence)

$$
p(y)
= \sum_{x} p(y, x)
= \sum_{x} p(y \mid x),p(x)
$$

• 観測データ y が得られる全体の確率

1.4 Bayes の定理 (事後確率 / Posterior)

$$
p(x \mid y)
= \frac{p(y \mid x),p(x)}{p(y)}
$$

• 観測後に「状態 x である」と更新された確率

---

2. 同時確率との関係

同時確率は尤度と事前確率の積で表されます。

$$
p(y, x) = p(y \mid x),p(x)
$$

これを各 x について計算すると、周辺尤度や事後確率を得ることができます。

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3. 「影が上にできる」例：数値を当てはめてみる

隠れ状態 $x$	事前確率 $p(x)$	尤度 $p(y=\text{影}\mid x)$
凹面	0.45	0.90
凸面	0.55	0.10

1. 同時確率
   $$
   p(\text{影}, \text{凹}) = 0.9 \times 0.45 = 0.405,
   \quad
   p(\text{影}, \text{凸}) = 0.1 \times 0.55 = 0.055
   $$

2. 周辺尤度
   $$
   p(\text{影}) = 0.405 + 0.055 = 0.46
   $$

3. 事後確率
   $$
   p(\text{凹} \mid \text{影})
   = \frac{0.405}{0.46} \approx 0.88,
   \quad
   p(\text{凸} \mid \text{影})
   = \frac{0.055}{0.46} \approx 0.12
   $$
   → 影が上にできた情報の下では、「凹面」である確率が約 88 % になります。

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4. 最大事後確率推定 (MAP 推定)

事後確率が最大となる状態 x を推定値とする方法です:

\hat{x}_{\mathrm{MAP}}
= \arg\max_{x}\;p(x \mid y)
= \arg\max_{x}\;\bigl[p(y \mid x)\,p(x)\bigr]

• 分母 $p(y)$ はすべての$ x $で共通定数なので、比較の際には無視できます。
• 本例では：
  • 凹面：$0.9 \times 0.45 = 0.405$
  • 凸面：$0.1 \times 0.55 = 0.055$

$$
\therefore \hat{x}_{\mathrm{MAP}} = \text{凹面}
$$

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5. まとめ

• 事前確率 $ p(x) $ と 尤度 $ p(y\mid x) $ から同時確率 $ p(y,x) $を計算
• 同時確率を足し合わせて 周辺尤度 $ p(y) $ を得る
• Bayes の定理で 事後確率 $ p(x\mid y) $ を得る
• MAP 推定 では「尤度×事前確率」の大きい方を選ぶだけ

ベイズ推論は「観測前の知識 (Prior) + 観測からの情報 (Likelihood)」を統合し、「観測後の確からしさ (Posterior)」を計算する強力な枠組みです。

6. 参考文献

• 乾 敏郎, 阪口 豊. 自由エネルギー原理入門 : 知覚・行動・コミュニケーションの計算理論. 岩波書店, 2021年11月. ISBN:9784000054737