複利で資産を積立運用するシミュレーションをよく見ますが、実際どんな計算式で計算されているか気になったので求めてみました（高校生の数学でできるので、まったく大した内容ではありません）。ついでにiDeCoの効果をシミュレートしました。
複利で積立運用するときの式
$N$: 積立する年数 [年]
$M$: 毎年積み立てる額 [万円]
$r$: 年利 [割合]
であるとき、複利が働く場合に得られる金額は以下になります。
\sum_{i=1}^{N} (1+r)^{i} M
積立する年数が指数に入ります。だから複利を使った運用はすごいんですね。$r = 0.1$、$N = 30$なら、$(1+r)^{30} = 17.450$です。30年目以降は、毎年積み立てる額$N$が17倍以上増えるわけです。すごい！
例（iDeCoを使った場合）
$N = 30$年、$M = 27.6$万円（iDeCoで1年に積み立てられる満額）、$r = 0.05$のときは
```math`
1925.398 万円
$r = 0.1$のときは
```math`
4994.039 万円
のお金を運用で得ることができます。
なおiDeCoであれば、運用益が非課税になるので、20.315 %も普通に積み立てるよりお得になります。なので$r = 0.05$のときは
```math`
1925.398 万円 x 0.20315 = 391.145 万円
$r = 0.1$のときは
```math`
4994.039 万円 x 0.20315 = 1014.539 万円
もお得になります。
更にiDeCoだと、投資に回した額が控除になります。もし所得税20 %、住民税10 %だとすると、27.6万円 x 0.3 = 8.280万円も毎年節税になります。つまり、もし$r = 0.1$だとすると
```math`
1014.539 万円 + 8.280 万円 x 30 年 = 1262.939 万円
がトータルで節税されます。日本人の平均年収3年分ぐらいの節税になっていますね。iDeCo、すごい。