ラビットチャレンジ Stage1 応用数学 統計学1 レポート

#1.集合とは

集合とは何か？

　　物の集まりのことである。 　　数学的に記載すると $$ S = \left\\{ a,b,c,d,e,f,g \right\\} $$ 　　と表す。 　　上記は、「Sという**集合**はa~gまでの**要素**でできている」と表されている。 　　また、その他に「aはSの中に含まれている」といった事を表す式がある。 $$ a \in S $$ 　　この式は反転させても問題なく、 $$ S \ni a $$ 　　という書き方であれば同じ意味である。 　　集合の中にある「**要素**」というのは明確に区別することができる。 　　 　　もし、この集合Sの中に違う集合Mがあった場合、以下のように表すことができる。 $$ M \subset S $$

　　さらに、集合に含まれるor含まれないということも明確に区別ができ、以下で表される。
$$ h \notin S $$

　　確率・統計に登場する「事象」は「集合」として取り扱うことができる。

和集合と共通部分

　　ある、集合AとBが存在した時、「AまたはBに含まれている」状態の事を「**和集合**」という。 　　さらに、「集合Aと集合Bのどちらにも含まれている」状態の事を「**共通部分**」という。

　　数式で表すと以下になる。
　　・和集合
　　 $$ A \cup B $$

　　・共通部分
$$ A \cap B $$

絶対補と相対補

　　和集合と、共通部分とは別に、 　　「全ての事象の中で集合A以外の全て」の状態を「**絶対補**」と呼ばれたり、 　　「集合Aと集合Bの中で集合Aを除いた」状態を「**相対補**」と呼ばれている。

　　・絶対補
　　$$ U \setminus A = \overline{A} $$

　　・相対補
$$ B \setminus A $$

　　と表したりする。

#2.確率

確率とは

　　確率の考え方には２つの考え方が存在する。 　　 　　１.頻度確率（客観確率） 　　　・発生する頻度 　　　例：「10本のうち一本だけ当たりのクジを引いて当選する確率は10％である」という事実 　　 　　２.ベイズ確率（主観確率) 　　　・信念の度合い 　　　例：「あなたは40%の確率でインフルエンザです」という診断

　

確率の定義

  P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{事象Aが起こる数}{全ての事象の数}

条件付き確率

　　・ある事象Bが与えられた上で、Aとなる確率 　　　　例:雨が降っている条件下で交通事故に遭う確率 　　

 \begin{eqnarray}
  P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\
         = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}
 \end{eqnarray}

独立な事象の同時確率

　・お互いの発生には因果関係のない事象Aと事象Bが同時に発生する確率 　　

 P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B)

和集合の確率

　　

  P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

　　
　　和集合は単に、P(A) + P(B)するだけでは、事象Aと事象Bが重なっている部分が二重に
　　数えられてしまうので、最後に、$ P(A \cap B) $を除いてあげる必要がある。
　　もし仮に、事象Aと事象Bが重なることがなければ、単純に、P(A) + P(B)で良い。

ベイズ則

　　例題：ある街の子供たちは毎日1/4の確率で飴玉をもらうことができ、 　　　　　飴玉をもらうと1/2の確率で笑顔になるという。 　　　　　その街の、笑顔な子供が飴玉をもらっている確率を求めよ。 　　　　　（ただし、この街の子供達が笑顔でいる確率は1/3である。) 　　 　　考え方：一般的に事象Aと事象Bに対して・・・ 　　

  P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

　　　　　　と考えることができる。

　　　　　　内容を整理すると
　　　　　　$P(飴玉) = \frac{1}{4} $　　$P(笑顔|飴玉) = \frac{1}{2}$ 　$P(飴玉) = \frac{1}{3} $

　　　　　　このように内容を整理すると、以下のことが導き出される。
　　

 \begin{eqnarray}
  P(笑顔|飴玉) × P(飴玉）= P(笑顔 \cap 飴玉) \\
  \\
  P(笑顔、飴玉）= P(飴玉、笑顔） \\
  \\
  P(飴玉 \cap 笑顔) = P(飴玉|笑顔) × P(笑顔）
 \end{eqnarray}

　　　　　　 整理した内容に実際の数字を入れると・・・
　　

    \frac{1}{2} × \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \\
    \\
    \frac{1}{8} = P(飴玉|笑顔) × \frac{1}{3}
    \\
    P(飴玉|笑顔） = \frac{3}{8}

　　　　　　となる。