箱ひげ図を理解しよう_統計検定2級対策

Posted at 2025-09-20

以下の統計検定2級対策動画で用いられているスライドの一部です。

1. まずは具体例から

難しい定義の前に、まずは具体的なデータを使って 箱ひげ図 がどのように作られるのかを見ていきましょう。

【問題】
あるクラスの生徒20人に対して実施した、50点満点の英語の小テストの結果があります。このデータから箱ひげ図を作成してください。

データ:
38, 25, 45, 33, 29, 18, 50, 35, 36, 41, 22, 39, 31, 27, 48, 15, 34, 42, 30, 4

Step 1: データを小さい順に並べ替える

まず、全てのデータを小さいものから大きいものへ並べ替えます。

4, 15, 18, 22, 25, 27, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 41, 42, 45, 48, 50

この作業が、データの分布を理解するための第一歩です。

Step 2: データの「真ん中」を探す (1)

次に、データの中心や区切りとなる値を求めます。

中央値 (第2四分位数 $Q_2$)
- データ全体のちょうど真ん中の値です。
- データは20個 (偶数) なので、中央にある2つの値 (10番目と11番目) の平均を取ります。

4, 15, 18, 22, 25, 27, 29, 30, 31, 33 , 34 , 35, 36, 38, 39, 41, 42, 45, 48, 50

$$
Q_2 = \frac{33 + 34}{2} = 33.5
$$

Step 2: データの「真ん中」を探す (2)

第1四分位数 ($Q_1$)
- 中央値より 小さいデータ群 の、さらに中央値です。
- データ全体の下から25%の位置にある値を示します。

下位データ群 (10個):
4, 15, 18, 22, 25 , 27 , 29, 30, 31, 33

$$
Q_1 = \frac{25 + 27}{2} = 26
$$

Step 2: データの「真ん中」を探す (3)

第3四分位数 ($Q_3$)
- 中央値より 大きいデータ群 の、さらに中央値です。
- データ全体の下から75%の位置にある値を示します。

上位データ群 (10個):
34, 35, 36, 38, 39 , 41 , 42, 45, 48, 50

$$
Q_3 = \frac{39 + 41}{2} = 40
$$

用語解説：四分位数

ここまでで求めた3つの値は 四分位数 と呼ばれ、データを4つの等しい部分に分ける目印となります。

第1四分位数 ($Q_1$): データの下から 25% の点 (26)
第2四分位数 ($Q_2$): データの中央、 50% の点 (33.5)
第3四分位数 ($Q_3$): データの下から 75% の点 (40)

この 四分位数 が、箱ひげ図の「箱」の部分を形作ります。

Step 3 & 4: 外れ値を見つける準備

次に、データの中で極端に離れた値、つまり 外れ値 を見つける準備をします。

四分位範囲 (IQR) を計算する
- 第3四分位数と第1四分位数の差で、データのばらつき具合を示します。
  $$
  IQR = Q_3 - Q_1 = 40 - 26 = 14
  $$
外れ値の範囲を計算する
- この範囲の外にある値を外れ値とみなします。
- 上限: $Q_3 + 1.5 \times IQR = 40 + 1.5 \times 14 = 61$
- 下限: $Q_1 - 1.5 \times IQR = 26 - 1.5 \times 14 = 5$

Step 5: 外れ値と「ひげ」の範囲を特定

計算した範囲と、元のデータを比較します。

下限の 5 を下回るデータは 4 のみです。
→ 外れ値は 4
上限の 61 を上回るデータはありません。

これを基に、グラフの「ひげ」の端となる値を決めます。

ひげの下端: 外れ値を除いた中で最も小さい 15
ひげの上端: データの中で最も大きい 50

Step 6: 箱ひげ図を描画する

これまでの計算結果をすべてまとめると、以下のようになります。

要素	値
外れ値	4
ひげの下端	15
第1四分位数 ($Q_1$)	26
中央値 ($Q_2$)	33.5
第3四分位数 ($Q_3$)	40
ひげの上端	50

これらの値を元にグラフを描くと、 箱ひげ図 が完成します。

完成した箱ひげ図

2. 一般化と定義

ここまでの具体例を踏まえて、 箱ひげ図 の定義や各要素について一般化して見ていきましょう。

箱ひげ図とは？

データの分布を 5つの代表値 (最小値, $Q_1$, 中央値, $Q_3$, 最大値) を使って、視覚的に要約するグラフ。

特に、 複数のデータグループの分布を比較する 際に非常に強力です。

構成要素の定義 (1): 四分位数

四分位数
- データを小さい順に並べ、全体を4等分する位置にくる値。
第1四分位数 ($Q_1$)
- データ全体の下から25%の位置にある値。
第2四分位数 ($Q_2$)
- データ全体の中央 (50%)。 中央値 と同じ。
第3四分位数 ($Q_3$)
- データ全体の下から75%の位置にある値。

構成要素の定義 (2): 各部の名称

名称	説明
箱 (Box)	第1四分位数 ($Q_1$) から第3四分位数 ($Q_3$) までの範囲。データの中央50% が含まれる。
箱の中の線	中央値 ($Q_2$) を示す。
ひげ (Whisker)	箱から上下に伸びる線。データの全体の範囲 (外れ値を除く) を示す。
四分位範囲 (IQR)	箱の長さ ($Q_3 - Q_1$)。データのばらつきを表す。

$$
IQR = Q_3 - Q_1
$$

構成要素の定義 (3): 外れ値

外れ値
- 他の値から極端に離れている値。
- 以下の範囲の外にある値として定義されるのが一般的です。

上限: $Q_3 + 1.5 \times IQR$
下限: $Q_1 - 1.5 \times IQR$

外れ値は、データ入力のミスや特異な事象を示唆することがあり、分析の際に注意を払うべき点を示してくれます。

箱ひげ図から読み取れること

箱ひげ図は、一目で多くの情報を伝えてくれます。

中心の位置
- 中央値（箱の中の線）を見れば、データの中心的な傾向がわかります。
ばらつきの大きさ
- 箱の長さ (IQR) やひげの長さから、データがどの程度散らばっているかがわかります。
- 箱が長いほど、データのばらつきが大きいことを意味します。

箱ひげ図から読み取れること (続き)

分布の対称性
- 箱の中の中央値の位置から、分布の偏り (歪み) を推測できます。
- 中央値が箱の中央にあれば、分布は対称に近いです。
外れ値の有無
- 他のデータから大きく離れた値が存在するかどうかを、点で示してくれるため一目で確認できます。

まとめ

箱ひげ図 は、データの分布、中心、ばらつき、外れ値の有無を 簡潔に、そして 視覚的に 示すことができる強力なツールです。

本日の内容を理解し、ぜひ今後のデータ分析にご活用ください。

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