学習のポイント

・極限分布：確率変数列 ${X_n}$ がある確率分布 $G(x)$ に分布収束するときの$G(x)$のこと

・$\beta$を尺度パラメータ、$\mu$を位置パラメータとしたときの位置・尺度変換は、

$$
y = \frac{x - \mu}{\beta}　・・・①
$$

・自然対数の底の$x$乗

e^x =\exp(x)  = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n　・・・②

・位置パラメータ $\mu$、尺度パラメータ $\beta$ のガンベル分布の累積分布関数は、以下の式で表されます。
$$
F(x; \mu, \beta) = \exp\left(-\exp\left(-\frac{x - \mu}{\beta}\right)\right)　・・・③
$$

解答

確率変数 $X_1, X_2, \dots, X_n$ は、独立に平均$1$の指数分布に従います。

平均が$1$の指数分布の累積分布関数は、以下の式で表されます。ここで、$X_i$は指数分布に従うため、$x \ge 0$ です。

F(x; 1) = 1 - \exp(-x) 　 (x ≥ 0)

確率変数	$X_1$	$X_2$	...	$X_n$
従う分布	$\text{Exp}(\lambda=1)$	$\text{Exp}(\lambda=1)$	...	$\text{Exp}(\lambda=1)$
累積分布関数	$P(X_1 \leq x)=(1 - \exp(-x)) $	$P(X_2 \leq x)=(1 - \exp(-x)) $	...	$P(X_n \leq x)=(1 - \exp(-x)) $

1. 最大値 $M_n$ の分布

まず、$M_n$ がある値 $x$ 以下となる確率 $P(M_n \le x)$ を考えます。$M_n$ は $X_1, X_2, \dots, X_n$ の最大値なので、$X_1, X_2, \dots, X_n$ のすべてが $x$ 以下となります。よって、

P(M_n \le x) = P(X_1 \le x, X_2 \le x, \dots, X_n \le x)

です。ここで、$P(X_1 \le x, X_2 \le x, \dots, X_n \le x)$ は、$X_1 \le x$ かつ $X_2 \le x$ かつ ... かつ $X_n \le x$ となる確率を表しています。

次に、確率変数 $X_1, X_2, \dots, X_n$ は互いに独立であるため、上記の式は、各々の確率の積で表すことができ、

P(X_1 \le x, X_2 \le x, \dots, X_n \le x) = P(X_1 \le x) P(X_2 \le x) \cdots P(X_n \le x)

です。

また、各 $X_i$ は平均1の指数分布に従うと仮定されており、平均1の指数分布の累積分布関数は $1 - \exp(-x)$ （ただし $x \ge 0$）で表されるため、

P(X_1 \le x) P(X_2 \le x) \cdots P(X_n \le x) = (1 - \exp(-x))^n

です。

以上をまとめると、$M_n$ の累積分布関数は

\begin{align*}
P(M_n \le x) &= P(X_1 \le x, X_2 \le x, \dots, X_n \le x) \\
&= P(X_1 \le x) P(X_2 \le x) \cdots P(X_n \le x) \\
&= (1 - \exp(-x))^n
\end{align*}

となります。

確率変数$M_n$	$M_1$	$M_2$	...	$M_n$
$M_n$の累積分布関数	$(1 - \exp(-x))$	$(1 - \exp(-x))^2$	...	$(1 - \exp(-x))^n$

2. 位置・尺度変換した確率変数の極限分布

$M_n$ について、式①をもとに位置・尺度変換します。今回は、位置を $-\log n$ だけ変更した確率変数 $Y_n = M_n - \log n$ を考えます。

$Y_n$ の累積分布関数を計算すると、

\begin{align*}
P(Y_n \le y) &= P(M_n - \log n \le y) \\
&= P(M_n \le y + \log n) \\
&= \left(1 - \exp(-(y + \log n))\right)^n \\
\end{align*}

です。ここで、

$$
\exp(-(y + \log n)) = \exp(-y) \cdot \exp(-\log n) = \frac{\exp(-y) }{n}
$$
なので、

\begin{align*}
P(Y_n \le y) &= \left(1 - \frac{\exp(-y)}{n}\right)^n \quad  \\
&= \left(1 + \frac{-\exp(-y)}{n}\right)^n
\end{align*}

となります。

確率変数$M_n$	$M_1$	$M_2$	...	$M_n$
確率変数$Y_n$	$M_1 - \log 1$	$M_2 - \log 2$	...	$M_n - \log n$
$Y_n$の累積分布関数	$1+(-\exp(-y))$	$(1+\frac{-\exp(-y)}{2})^2$	...	$(1+\frac{-\exp(-y)}{n})^n$

ここで、$y$ を固定したまま $n \to \infty$ とすると、式②より、

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} P(Y_n \le y) &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{-\exp(-y)}{n}\right)^n \\
&= \exp(-\exp(-y)) \quad
\end{align*}

です。

よって、確率変数$M_n$を位置・尺度変換した確率変数 $Y_n(=M_n - \log n)$ の分布は、$n \to \infty$ のとき、式③より、$\mu=0$, $\beta=1$ のガンベル分布に収束し、極限分布が$\mu=0$, $\beta=1$ のガンベル分布と求まりました。

指数分布の確率密度関数と累積分布関数

・指数分布の確率密度関数

f(x; \lambda) = 
\begin{cases}
  \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
  0 & x < 0
\end{cases}

・指数分布の累積分布関数

F(x) = P(X \leq x) =
\begin{cases}
  0 & x < 0 \\
  1 - e^{-\lambda x} & x \geq 0
\end{cases}