CursorのgithubのIssuesを見ていたら、Linuxに簡単にCursorをインストールできるシェルスクリプトを作成している人がいました。

ホームフォルダにApplicationsフォルダを作成し、ダウンロードした.AppImageファイルと作成（少し修正）したCursorDesktopIntegrator.shをそこに移動して、CursorDesktopIntegrator.shを実行すれば、メニュへの登録・アイコンの登録を自動的に行うことができました。

修正したところは、CursorDesktopIntegrator.shの16行目を

-  curl -o $ICON_PATH "https://www.cursor.so/brand/icon.svg"
+  curl -o $ICON_PATH -L "https://www.cursor.so/brand/icon.svg"

36行目を

-  chmod +x $DESKTOP_FILE_PATH
+  chmod +x $DESKTOP_FILE_PATH $LATEST_APPIMAGE

あと、Xubuntu22.04.3を最小インストールした環境だったので、curlのインストールをCursorDesktopIntegrator.shの実行前に行う必要がありました。

ホームフォルダにApplicationsフォルダを作成し、今回ダウンロードしたcursor-0.18.6-build-231207ueqazwde8.AppImageと作成したCursorDesktopIntegrator.shをそこに移動した後、ターミナルを起動して

sudo apt install curl -y

bash ./Applications/CursorDesktopIntegrator.sh

これで、アイコン付きでメニューに登録されました。