結論
確率関数
f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1-p & x = 0 \\ p & x = 1 \\ \end{array}\right. =p^x(1-p)^{1-x} \ \ (x = 0,1)期待値，分散
E[X] = p, \ \ V[X]= p(1-p)母関数
G(s) = ps+(1-p)
期待値の導出
期待値の定義：$\displaystyle E[X]=\sum_{x}xf(x)$から，
\begin{align*}
E[X] &= \sum_{x=0}^{1}xf(x)\\
&= 0\cdot(1-p) +1\cdot p\\
&= p\end{align*}
分散の導出
分散は偏差の２乗の期待値 $\left(\displaystyle V[X]=E[(X-\mu)^2]\right)$ だから，
\begin{align*}
V[X] &= E[(X-\mu)^2]\\
&= \sum_{x=0}^{1}(x-p)^2f(x)\\
&= (0-p)^2(1-p) + (1-p)^2p\\
&= p(1-p)\\
\end{align*}
【別解】
関係式：$V[X]=E[X^2]-(E[X])^2$ から，
\begin{align*}
V[X] &= E[X^2]-(E[X])^2\\
&= \sum_{x=0}^{1}x^2f(x) - p^2\\
&= 0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p - p^2\\
&= p - p^2 = p(1-p)
\end{align*}
母関数の導出
確率母関数の定義：$G(s)=E[s^X]$ から，
\begin{align*}
G(s) &= E[s^X]\\
&= \sum_{x=0}^{1}s^xf(x)\\
&= s^0(1-p) + s^1p\\
&= ps+(1-p)
\end{align*}