結論
確率関数
f(x) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\ \ (x=0,1,2,\cdots)期待値，分散
E[X] = V[X] = \lambda母関数
G(s) = e^{\lambda(s-1)}
期待値の導出
期待値の定義：$E[X] = \sum_{x}xf(x)$から，
\begin{align*}
E[X] &= \sum_{x=0}^{\infty}x\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\\
&= 0+\sum_{x=1}^{\infty}x\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\\
&= \lambda e^{-\lambda}\sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}\\
&= \lambda e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}\ \ (\because \text{Taylor展開の式：}e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!})\\
&= \lambda
\end{align*}
分散の導出
関係式：$V[X]=E[X^2]−(E[X])^2$から，
\begin{align*}
V[X] &= \sum_{x=0}^{\infty}x^2\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} - \lambda^2\\
&= \sum_{x=0}^{\infty}(x^2-x+x)\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} - \lambda^2\ \ (\text{ムリヤリ変形})\\
&= \sum_{x=0}^{\infty}(x(x-1)+x)\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} - \lambda^2\\
&= \sum_{x=0}^{\infty}x(x-1)\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} + \sum_{x=0}^{\infty}x\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} - \lambda^2\\
&= \left(0 + 0 + \sum_{x=2}^{\infty}x(x-1)\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\right) + \left(0 + \sum_{x=1}^{\infty}x\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\right) - \lambda^2\\
&= \lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{x=2}^{\infty}\frac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!} + \lambda e^{-\lambda}\sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!} - \lambda^2\\
&= \lambda^2e^{-\lambda}\cdot e^\lambda + \lambda e^{-\lambda}\cdot e^\lambda - \lambda^2 \ \ (\because \text{Taylor展開の公式})\\
&= \lambda
\end{align*}
母関数の導出
確率母関数の定義：$G(s)=E[s^X]$ から，
\begin{align*}
G(s) &= \sum_{x=0}^{\infty}s^x\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\\
&= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(s\lambda)^x}{x!}\\
&= e^{-\lambda}\cdot e^{s\lambda}\ \ (\because \text{Taylor展開の公式})\\
&= e^{\lambda(s-1)}
\end{align*}
ポアソン分布は二項分布の極限であることの証明
二項分布の確率関数
{}_{n}C_{x}p^x(1-p)^{n-x}
において，$p=\frac{\lambda}{n}$とおき，$n\to\infty$の極限をとるとポアソン分布になります。
実際，
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} {}_{n}C_{x}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}
&= \lim_{n\to\infty} \frac{n(n-1)\cdots (n-x+1)}{x!}\frac{\lambda^x}{n^x}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{n(n-1)\cdots (n-x+1)}{n^x}\frac{\lambda^x}{x!}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\\
&= \lim_{n\to\infty}
1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{x-1}{n}\right)
\frac{\lambda^x}{x!}
\left\{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-n/\lambda}\right\}^{-\lambda}
\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\\
&= \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\ \ \left(\because \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\right)
\end{align*}