ページに挿入した [スクリプトエディター] の [スニペットを編集] でコードを挿入するだけで、Web パーツが開閉できるようになります。

※jQuery と他のライブラリがコンフリクト(競合)しないようにしています。

<style>
.ms-webpart-chrome h2 {
  position: relative;
  margin: 0 0 4px;
  padding: 0.8em 0 0.8em 1.5em;
  border: 2px solid #993366;
  font-size: 1.143em;
  font-weight: bold;
  background-color: #FFEEFF;
}
.ms-webpart-chrome h2:before {
  content: "";
  position: absolute;
  background: #882255;
  top: 50%;
  left: 0.5em;
  margin-top: -15px;
  height: 30px;
  width: 8px;
  border-radius: 2px;
  -webkit-border-radius: 2px;
  -moz-border-radius: 2px;
}
.ms-webpart-chrome h2:after {
  display: block;
  content: "";
  position: absolute;
  top: 50%;
  right: 10px;
  width: 7px;
  height: 7px;
  margin-top: -4px;
  border-top: solid 2px #7f7f7f;
  border-right: solid 2px #7f7f7f;
  transform: rotate(135deg);
  -webkit-transform: rotate(135deg);
  transition: .2s;
}
.ms-webpart-chrome .closed h2:after {
  transform: rotate(45deg);
  -webkit-transform: rotate(45deg);
}
</style>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.4/jquery.min.js"></script>
<script>
(function ($) {
  $.fn.extend({
    BodyToggle: function (speed) {
      $(this).toggleClass('closed');
      $(this).next().slideToggle(speed);
    },
  });
  $('.ms-webpart-chrome-title').click(function () {
    $(this).BodyToggle('normal');
  });
})(jQuery);
</script>

javaScript

(function ($) {
  $.fn.extend({
    BodyToggle: function (speed) {
      $(this).toggleClass('closed');
      $(this).next().slideToggle(speed);
    },
  });

  $(window).load(function () {
    $('.ms-webpart-chrome-title').click(function () {
      $(this).BodyToggle('normal');
    }).click();// 閉じた状態で開始
  });
})(jQuery);

CSS

.ms-webpart-chrome h2 {
  position: relative;
  margin: 0 0 4px;
  padding: 0.8em 0 0.8em 1.5em;
  border: 2px solid #993366;
  font-size: 1.143em;
  font-weight: bold;
  background-color: #FFEEFF;
}

.ms-webpart-chrome h2:before {
  content: "";
  position: absolute;
  background: #882255;
  top: 50%;
  left: 0.5em;
  margin-top: -15px;
  height: 30px;
  width: 8px;
  border-radius: 2px;
  -webkit-border-radius: 2px;
  -moz-border-radius: 2px;
}

.ms-webpart-chrome h2:after {
  display: block;
  content: "";
  position: absolute;
  top: 50%;
  right: 10px;
  width: 7px;
  height: 7px;
  margin-top: -4px;
  border-top: solid 2px #7f7f7f;
  border-right: solid 2px #7f7f7f;
  transform: rotate(135deg);
  -webkit-transform: rotate(135deg);
  transition: .2s;
}

.ms-webpart-chrome .closed h2:after {
  transform: rotate(45deg);
  -webkit-transform: rotate(45deg);
}

参考サイト

超簡単jQuery！toggle系メソッドでアコーディオンメニューやタブをさくっと実装する方法