テンソル代数の共変・反変の変換をNumPyでやる方法のメモ。

NumPyでテンソル代数（共変・反変）の続き。

問題は、テンソル解析（田代嘉宏・著） p163 問題1 参照。

基底$Σ${$e_1,e_2,e_3$},$Σ'${$e'_1,e'_2,e'_3$}の双対基底の変換式は前回と同じです。

e_1 = e_1' + 2e_2' + 3e_3' \\
e_2 = 2e_1' - e_2' +2e_3' \\
e_3 = -4e_1' + 2e_2' - 5e_3'

基底の変換行列Aは双対基底の変換式より

A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -4\\
2 & -1 & 2\\
3 & 2 & -5
\end{pmatrix}

Aの逆行列は

A^{-1} =
\begin{pmatrix}
0.2 && 0.4 && 0 \\
3.2 && 1.4 && -2 \\
1.4 && 0.8 && -1
\end{pmatrix}

NumPyで書くと以下の通り。

import numpy as np

A = np.array([[1,2,-4],[2,-1,2],[3,2,-5]])
print(A)

# 出力
# [[ 1  2 -4]
# [ 2 -1  2]
# [ 3  2 -5]]

A_1 = np.linalg.inv(A).round(decimals=1)
print(A_1)

# 出力
# [[ 0.2  0.4  0. ]
# [ 3.2  1.4 -2. ]
# [ 1.4  0.8 -1. ]]

共変テンソルの変換

以下の共変テンソル

T =
\begin{pmatrix}
2 && 1 && -4 \\
1 && 0 && 2 \\
1 && -3 && 1
\end{pmatrix}

を変換します。

共変テンソルの変換式は以下の通り。

T_{ab} = \bar{{}^t\!A^a\,_i} \; T_{ij} \; \bar{A^j\,_b}

$\bar{A^i,_a}$は$A^a,_i$の逆行列を表します。

前回と同様、.dot()を使います。

T = np.array([[2,1,-4],[1,0,2],[1,-3,1]]) #共変テンソル
T_ab = A_1.T.dot(T.dot(A_1)).round()
print(T_ab)

# 出力
# [[-2.  2.  1.]
# [-3.  0.  2.]
# [ 2. -1. -1.]]

反変テンソルの変換

以下の反変テンソル

H =
\begin{pmatrix}
3 && 2 && 1 \\
2 && -1 && 3 \\
1 && 3 && 1
\end{pmatrix}

を変換します。

反変テンソルの変換式は以下の通り。

H^{ab} = A^a\,_i \; H^{ij} \; {}^t\!A^j\,_b

H = np.array([[3,2,1],[2,-1,3],[1,3,1]]) #反変テンソル
H_ab = A.dot(H.dot(A.T))
print(H_ab)

# 出力
# [[-33  24 -30]
# [ 24   3  35]
# [-30  35 -18]]

混合テンソルの変換

以下の混合テンソル

P =
\begin{pmatrix}
3 && 1 && 3 \\
-5 && 3 && 1 \\
-4 && 2 && 1
\end{pmatrix}

を変換します。

反変テンソルの変換式は以下の通り。

P^a\,_b = A^a\,_i \; P^i\,_j \; \bar{A^j\,_b}

P = np.array([[3,1,3],[-5,3,1],[-4,2,1]]) #混合テンソル
P_ab = A.dot(P.dot(A_1)).round()
print(P_ab)

# 出力
# [[  0.   3.   1.]
# [ 20.  11. -13.]
# [  9.  11.  -4.]]