同時に起こる確率

P(A ∩ B): AとBが同時に起こる確率
P(A|B): Bが起こったときにAが起こる確率
P(B): Bが起こる確率

例：

Bが起こる確率が50%（P(B) = 0.5）
Bが起こったときにAが起こる確率が20%（P(A|B) = 0.2）
※ Bが起きた後だけ考えた確率だからP(A|B)ではB自体の確率は考えない。(Bが後の事象を100％としてる)下図参照

P(B) = 0.5
├── Bが起こる（50%）
│   ├── P(A|B) = 0.2
│   │   ├── Aが起こる（10%）
│   │   └── Aが起こらない（40%）
│   └── 1 - P(A|B) = 0.8
│       ├── Aが起こる（10%）
│       └── Aが起こらない（40%）
└── Bが起こらない（50%）
    ├── P(A|¬B)
    └── 1 - P(A|¬B)

この場合、AとBが同時に起こる確率P(A ∩ B)は、P(A|B) * P(B)で計算される。つまり、

$$P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) = 0.2 * 0.5 = 0.1$$

条件付き確率

上記の公式を変形して、条件付き確率 (P(A|B)) を求める場合、次のようになる：
$$P(A|B) = \frac{P(A ∩ B)}{P(B)}$$

Bが起こったときにAが起こる確率を求めるために、AとBが同時に起こる確率をBが起こる確率で割る

例：

AとBが同時に起こる確率が0.1（10%）（P(A ∩ B) = 0.1）
Bが起こる確率が0.5（50%）(P(B) =　0.5)
この場合、Bが起こったときにAが起こる確率P(A|B)は：
$$P(A|B) = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$$

ベイズの定理

条件付き確率の定義（↑の）：
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
共通事象の確率の表現（変形）：
$$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$$
さらに、条件付き確率の定義を使って：
$$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = P(B|A) \times P(A)$$
上記の式を条件付き確率の定義に代入：
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$$

全確率の法則を使った分母の展開

P(B)が(P(B) =　0.5)のように既知でない場合はこのように求める必要がある

全確率の法則：
$$P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|\neg A) \times P(\neg A)$$
ベイズの定理の最終形：
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B|A) \times P(A) + P(B|\neg A) \times P(\neg A)}$$

まとめ

ベイズの定理は次のように表される：
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B|A) \times P(A) + P(B|\neg A) \times P(\neg A)}$$