データポイントのばらつきとサンプル平均のばらつき

例

あるクラスの学生のテストの点数を考える。以下のデータがあるとする：

$$
{85, 90, 88, 92, 87}
$$

1. データポイントのばらつき（標準偏差）

まず、データポイントのばらつきを計算する。これがサンプルの標準偏差 ( s )。

1. 平均（(\bar{X})）を計算：
   $$
   \bar{X} = \frac{85 + 90 + 88 + 92 + 87}{5} = 88.4
   $$

2. 各データポイントと平均の差を二乗し、その平均を取る（分散）：
   $$
   \text{分散} = \frac{(85 - 88.4)^2 + (90 - 88.4)^2 + (88 - 88.4)^2 + (92 - 88.4)^2 + (87 - 88.4)^2}{5} = 6.64
   $$

3. 分散の平方根を取る（標準偏差）：
   $$
   s = \sqrt{6.64} \approx 2.58
   $$

この標準偏差 ( s ) は、個々のデータポイントのばらつきを示している。

2. サンプル平均のばらつき（標準誤差）

次に、サンプル平均のばらつきを計算する。これが標準誤差。

1. 標準誤差の公式を使う：
   $$
   \text{標準誤差} = \frac{s}{\sqrt{n}}
   $$

ここで、( s ) はサンプルの標準偏差、( n ) はサンプルサイズ。この例では、( s = 2.58 ) で、( n = 5 )。

1. 標準誤差を計算：
   $$
   \text{標準誤差} = \frac{2.58}{\sqrt{5}} \approx 1.15
   $$

この標準誤差は、サンプル平均のばらつきを示している。サンプルサイズが大きくなると、標準誤差は小さくなり、サンプル平均が母平均に近づくことを示す。

まとめ

• データポイントのばらつき: 個々のデータポイントが平均からどれだけ離れているかを示す（標準偏差 ( s )）。
• サンプル平均のばらつき: サンプル平均が母平均からどれだけ離れているかを示す（標準誤差）。

標準偏差をサンプルサイズの平方根で割ることで、サンプル平均のばらつきを正確に示すことができる。