分子軌道法 ー 計算代数幾何学からのアプローチ(3)

前回の例(HeH+)では、イデアルの準素イデアル分解（三角化）の意義は明確ではない。そこで異なる例（H2)を計算する。STO-3Gを用い、各間距離を1.4auとする。HeH+と同様にして、辞書式単項式順序の多項式環でグレブナー基底を計算し、これに素イデアル分解（三角化）を適用した結果を下に示す。

T[1]: The first triangular set.
   _[1]=5R-7
   _[2]=801399222030253760710170032137001335625f2+304346232379165290438701746433379249346f-1271909255306394864711461694927766603
   _[3]=e-f
   _[4]=1242659687276883475855557498066939556592868932067895963754965612968924w4-16269662253141717130371062050924103673128236164883968790339173830057533w2f-5486085686194680028059716962716015959936611656893154604030872578693149w2+17398540712544516879816983255699697113456412137314982412131125000000000f+8537297330291821012260604979972041443822967278581694842178812500000000
   _[5]=399943914650656747706016530962138697597404393362697665231318750000v-1234497384567144904621303127202648832116057437392153282985876224375w3f-146843764342745876025421399279098806030770027577924954485246719547w3+1234497384567144904621303127202648832116057437392153282985876224375wf+673937016455796943596099477250336237119850223077353267035762645404w
   _[6]=621944877024243607723669665030789398808y2-3205596888121015042840680128548005342500w2f-608692464758330580877403492866758498692w2-980105304861696105131739909708522223125f+4051900478244171273320854416630935169
   _[7]=513331214005435140934653865622152715475849318116169354905719466175000000x+579295902390311822987987315931133062901705044808564899628724869774795000yw2f-197420546358664922440635606187555666553932819049229939574770597342356624yw2+2246059961750649814087170307941585850077570315075906677686566455420870625yf+862268512630507171664873865090386039712501983021992827359601249754719375y

T[2]: The second triangular component
   _[1]=5R-7
   _[2]=61072999439004909747561619836608482886092845856727498721f4+46581498457052849190196610545597625324034411595989026052f3-5680360790681349272849815670277533845251982271043873858f2-5566291054774740625106602558887659382367043024020291084f+859363745344808676165331706915643877349315653555217769
   _[3]=147725437365112715771388616873715210668043028486854309490443785400000000e+10177550352875514258815827037718689255914413334061305471400806093509475833f3-2592019554047912708132065565639709390310439988316563829251283850363855229f2-3684750207917733092945893614876832420831213144469237956045163863486752073f+797823072252350655271027366982464271117080090907774545439898622626274509
   _[4]=65431150510460494737398714674276193602011046341727799577063609723696396630434131w2+311289108050685749090078908550507517330689552235692219566917661600843916534765625f3+178017183085334692583238621326068476138700134681575851216190965750573460316796875f2-111254395322922073067966386663687338309441323467137802073733529191887189737890625f-83393443321466385827452279423192627819101960367730304755954596529825162969921875
   _[5]=11515882489841047073782173782672610073953944156144092725563195311370565806956407056v-94078526660057126752181372594194963567908159230059651327476057080939743338549262047wf3-53800771924583362062559756573537293273250052764092560730324855547176704351486875773wf2+33623565122400053834167391662076924060713848786511360311561003258930356958574916247wf+7727490576779581722368805594825975360914343402906858211474769658260831914283439029w
   _[6]=4300225427731353310352740145753204843757274537686670821540182848y2+464572694777373876767013705438025713839883764700974360298304433313f3-101407551716323309133303001371841749704413490613839728775946966469f2-161655753834484899987429063528347758968266833706000954092094883953f+29333605281295237048568234418545720136140420082831318262444742549
   _[7]=295640498156530540086750885020532833008312624465958618980887570800000000x-54845411288289307273070979898735857800733245450206360790767709118342972759yf3+11971730030938301227610324506869066948606696018208289776497269419559522067yf2+19084368078109830545110126183308458734000329034836285873809150269238934279yf-3911644380907348334108057877068285921177939404540587893708961991460941507y
\end{verbatim}

準素イデアル分解（三角化）によって、２つの三角化多項式集合(T[1],T[2])ができた。２つの集合は、それぞれ７つの変数を含み、７つの多項式 _[1],...,_[7] で構成される。T[1]とT[2]の特徴的な違いは、三番目の多項式 _[3] にある。T[1]_[3]=e-fに対し、T[2]_[3]は複雑な二変数(e,f)の多項式である。この２つの式の解釈は、前者はアルファスピンとベータスピンの固有エネルギーの等しい（e=f）量子状態、後者はe≠fなる量子状態を記述する、ということである。すなわち、準素イデアル分解（三角化）によって、われわれは、所与の多項式集合を分解し、それぞれ異なる量子状態を記述する部分系を取得することができた。