ネットワークに関する（おそらく）基本的な法則のひとつである．
Wikipedia:メトカーフの法則によれば...
「通信ネットワークに関する法則で『ネットワーク通信の価値は、接続されているシステムのユーザ数の二乗（$n^2$）に比例する』という」
と書かれている．
まぁそうなんだが，もう少し詳細に記載してみようかなと...
注：厳密さにかける説明になっています．コメントでご指摘ください！！！
仮定と説明
とりあえず，
- $U_i = u(N)$ ： ユーザー$i$にとっての効用$U_i$は，$N$の関数，つまりネットワークのノード数によってきまる．
- $u_i'(N) > 0$ ： ユーザー$i$にとっての効用$U_i$は，正である．
- $i \in N$ ： ユーザー$i$は$N$に含まれる
とします．
そして，
- 全てのユーザーは対照的である．（互いに全てのノードにつながっていることを意味）
$u_i(N) = u(N)$ - 全てのユーザーは区別されない．（ノードは全く同じであるから，その数のみで説明される）
$u_i(N) = u(n), where n = |N|$ - ネットワークの価値は，加えられたものである．
$V = \sum_{i \in N} u(n) = n* u(n)$ - それぞれの個別の価値は，線形である．
$u(n) = cn$ $c$:価値の定数
とした場合において，このネットワークの価値は以下のようにかけます．
$V=cn^2$
ということで，メットカーフの法則はこうなったわけですね．
「そのネットワークの価値は，$n^2$に比例する」
余談：ビットコインの話
ビットコインの価値は，これによって示せそうですねって話があります．
あくまで，メットカーフの法則は，すごく理想的な状態の上で成り立っています．
なので，だいたいこんな法則があるんじゃない？ってぐらいの気持ちで考えましょう．
さて，ビットコインのみならず，仮想通貨の市場は
（板に乗っている）ウォレットをノード，取引のできるコネクションをエッジ
としたネットワークとして考えることができます．取引所ごとにエッジがあるため，取引所ごとにネットワークが構成されます．
そして，
それぞれのウォレットは，どのユーザーとも取引が可能です．
言い換えると，どの他のウォレットともつながっています．（1つ目の仮定は成り立ってますね．）
それ以外の3つの法則に関しては，過程が成立するとは言い切れません．
でも，まぁそういうことが成り立つ可能性もあります．
利用者数，もしくは，取引数によって価値が変わっていくっていうことなんじゃないでしょうか？チャートとかを眺めてみるとそんな気配があります．気が向いたら，計算してみようかな．
（あとは，これの法則で説明しきれない増減の部分は，それぞれの取引額とかどれだけお金を持っているウォレットなのかっていうので説明できるんじゃないでしょうか？）
つまり，利用者数が一気に増えそうなとき，取引が増えそうな時にその市場の価値が高まる
$\Leftrightarrow$ ビットコインの価格が上昇する．ってことになるのかもですね．