$a>0$ (前提) で $a>1$の場合を考える。

$\left(1+\frac{a-1}{n} \right)^n > 1 + a-1 = a$

（これは、よいとして）　だから、

$a^{\frac{1}{n}} < 1+\frac{a-1}{n}$

と言っていいのだろうか？　（良いとして）

任意の$\varepsilon > 0$ に対して、($\varepsilon > \frac{a-1}{n_0}$ つまり)$n_0 > \frac{a-1}{\varepsilon}$ なる $n_0 \in {\bf N}$ が存在して、$n \geq n_0 \Rightarrow |1-a^{\frac{1}{n}}| < \frac{a-1}{n} < \varepsilon$ つまり、$a^{\frac{1}{n}}\rightarrow 1$