中心極限定理 試してみた

#前提
母集団の平均を$ μ $、分散を$ σ^2 $とおく

中心極限定理は、
母集団から抽出した標本の平均$\overline{x}$は平均μ、分散$ σ^2/n$の正規分布に従う
というものである。(平均・分散が存在しさえすれば母集団の分布に寄らない)

実際にpythonで$\overline{x}$を計算するために抽出する標本数nを増やしていき比較してみた

#pythonでサイコロを例に試行

サイコロを1回振った時の平均$μ$と分散$σ^2$はそれぞれ$ μ=3.5 $、$ σ^2=35/12 $
である

今回は抽出する標本数を変化させて、その標本平均と標準偏差それぞれを計算してみる
※標本平均のばらつきをわかりやすくするため、標本平均を抽出する回数を10回とする
(pythonのstreamlitライブラリを使用)

n=10の時

import streamlit as st
import numpy as np
import pandas as pd

st.title('n=10')

# 変数初期化
n = 10
sample_mean = []

for i in range(10): # 抽出回数は10回
    # 1～6までのさいころのランダムな目
    x = np.random.randint(1, 7, n)
    # 標本平均
    sample_mean.append(x.mean())

df = pd.DataFrame({
      '標本平均': sample_mean,
    })

# 結果
st.dataframe(df ,width=500)
st.write('標本平均の標準偏差：{}'.format(np.var(sample_mean)))

n=100の時

st.title('n=100')

# 変数初期化
n = 100
sample_mean = []

for i in range(10): # 抽出回数は10回
    # 1～6までのさいころのランダムな目
    x = np.random.randint(1, 7, n)
    # 標本平均
    sample_mean.append(x.mean())

df = pd.DataFrame({
      '標本平均': sample_mean,
    })

# 結果
st.dataframe(df ,width=500)
st.write('標本平均の標準偏差：{}'.format(np.var(sample_mean)))

n=1000の時

st.title('n=1000')

# 変数初期化
n = 1000
sample_mean = []

for i in range(10):　# 抽出回数は10回
    # 1～6までのさいころのランダムな目
    x = np.random.randint(1, 7, n)
    # 標本平均
    sample_mean.append(x.mean())

df = pd.DataFrame({
      '標本平均': sample_mean,
    })

# 結果
st.dataframe(df ,width=500)
st.write('標本平均の標準偏差：{}'.format(np.var(sample_mean)))

#考察
標本数nが大きいほど、標本平均は3.5に近づいていき、標準偏差は小さくなることが分かる