忘れないように自分用メモ。

概要

空間的内挿手法で、地点ごとのデータから、未計測の地点のデータを予測する

方法

セミバリオグラム

セミバリオグラムと呼ばれる関数
を、縦軸にγ、横軸にhを撮ることで

このようなグラフが得られる。
ここで、hを決めうちにして、クラス分類すると

こうなる。

この雲たちを、モデルでフィッティングを行う。
球形モデル
指数モデル
ガウスモデル
などの関数を用いて、フィッティングを行う。

フィッティングを行うと

こうなる。
球形・ガウス・指数のいずれのモデルを使うときも
バリオグラムは

このように、書き換えられる。
b0 はナゲット分散
b0+b1 はシルに等しい

とおいて、推定値を求める。Z*(x0)の値を求めるのがKriging。
Krigingが他と異なるのは移動重み付き平均に対して
重みωにバリオグラムを用いる点。
重みωを求める。
推定値と真値との誤差を最小化するような、ωを見つけたい。
推定値と真値の分散は

上記の式になる。
この式にはωが含まれていないので、バリオグラムを用いた等式を考えると

推定値と真値の誤差の分散を、バリオグラムを用いた数式に書き換えることができる。これを、ラグランジュの未定乗数法により、制約条件のもと解く。
目的関数は次式になる。

偏微分項が0になるので

x0には未知の地点におけるデータ。
x1 ~ xnは既知の地点に置けるデータ。

この行列を得る。
左の行列は、既知の地点に置けるデータごとのバリオグラムを示し、
右の行列は、ある未知のデータ点に対するそれぞれの既知のバリオグラムを示す。
この行列を解くと、ω、つまり推定値と真値の分散を最小にするような
最適な重みωを見つけることができる。

この行列は、x0 がx1~xnの値の場合、つまり既知の地点のデータが入ると
その列に対する重みは1となり、その他は0になる。
つまり、その地点のデータになる。