blueqatで量子ゲートの作成

この記事に関して

ここではpythonライブラリのblueqatを用いて量子プログラミングを行っていこうと思います。
内容は公式のチュートリアルを元に作成しています。
今回は各量子ゲートを実装していきます。

量子ゲート

基本的な量子ゲートはここで確認してください。

1量子ゲート

I, X, Y, Z, H, T, T†, S, S†

I, X, Y, Z, H, T, T†, S, S† ゲートはそれぞれ以下で実装できます。

I	X	Y	Z	H	S	S†	T	T†
i	x	y	z	h	s	sdg	t	tdg

実装

以上のゲートを実装します。

I ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().i[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 1000})

X ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().x[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'1': 1000})

Y ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().y[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'1': 1000})

Z ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().z[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 1000})

H ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().h[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 511, '1': 489})

S ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().s[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 1000})

S† ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().sdg[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 1000})

T ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().t[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 1000})

T† ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().tdg[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 1000})

Rx, Ry, Rz, U1, U2, U3

U1, U2, U3に関して

ゲートを汎用的に使うために U1, U2, U3 ゲートというものがあります。
U1, U2, U3 はそれぞれ以下のように表します。

U_1(\lambda) = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & e^{i\lambda} \end{array}\right),
U_2(\phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{cc}1 & -e^{i\lambda} \\ e^{i\phi} & e^{i(\lambda+\phi)} \end{array}\right),
U_3(\theta, \phi, \lambda) = \left(\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & -e^{i\lambda}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) & e^{i(\lambda+\phi)}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{array}\right)\\

U_1 \left\{ \begin{array}{c} \left|0\right> → \left|0\right> \\
\left|1\right> → e^{i\lambda}\left|1\right> \end{array} \right. ,
U_2 \left\{ \begin{array}{c} \left|0\right> → \frac{1}{\sqrt2}(\left|0\right> +
e^{i\phi} \left|1\right>) \\
\left|1\right> → -\frac{1}{\sqrt2}e^{i\lambda}(\left|0\right> -
e^{i\phi}\left|1\right>) \end{array} \right. ,
U_3 \left\{ \begin{array}{c} \left|0\right> → \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|0\right> +
e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|1\right> \\
\left|1\right> → -e^{i\lambda}(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|0\right>-
e^{i\phi}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|1\right>) \end{array} \right. 

U1ゲートは一般の位相ゲートとなります。
( $U_1(\pi) = Z, U_1(\frac{\pi}{2})=S, U_1(\frac{\pi}{4})=T$ )

U2ゲートでは、bloch球の $\theta → \pi/4, \phi → \phi$ の軸で $\pi$ 回転させるゲートです。
( $U_2(0,\pi) = H$ )

U3ゲートは、bloch球の $\theta → \theta/2, \phi → \phi$ の軸で $\pi$ 回転させるゲートになります。
$U_3\left|0\right>$ は bloch球の式に対応しています。
よってビットを任意の位置に移動させることができます。

$U_2, U_3$ の $\lambda$ に関して、

\left|\theta, \phi\right>_0 = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|0\right> +
e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|1\right> \\
\left|\theta, \phi\right>_1 = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|0\right> -
e^{i\phi}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left|1\right>

という基底を考えると、それぞれこの基底に関する位相が $\lambda$ によって変わることがわかります。

Rx, Ry, Rz, U1, U2, U3 ゲートはそれぞれ以下で実装できます。

Rx	Ry	Rz	U1	U2	U3
rx(θ)	ry(θ)	rz(θ)orphase(θ)	u1(λ)	u2(φ,λ)	u3(φ,λ,θ)

Rx, Ry, Rz の $\theta$ には各軸による回転角を記入します。

実装

以上のゲートを実装します。

Rx ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().rx(math.pi/2)[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'1': 469, '0': 531})

Ry ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().ry(math.pi/2)[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'1': 524, '0': 476})

Rz ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().rz(math.pi/2)[0].m[:].run(shots=1000)
又は
c = Circuit().phase(math.pi/2)[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 1000})

U1 ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().u1(math.pi)[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 1000})

U2 ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().u2(0, math.pi)[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 486, '1': 514})

U3 ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().u3(math.pi/2,0,math.pi)[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'0': 503, '1': 497})

2量子ゲート

2量子ゲートは主に1量子ゲートに制御ビットが加わったものがあります。

CX, CZ

CX, CZ ゲートは以下で実装できます。

CX	CZ
cxorcnot	cz

CRx, CRy, CRz, CU1, CU2, CU3

CRx, CRy, CRz, CU1, CU2, CU3 ゲートは以下で実装できます。

CRx	CRy	CRz	CU1	CU2	CU3
crx(θ)	cry(θ)	crz(θ)	cu1(λ)orcphase(λ)	cu2(φ,λ)	cu3(φ,λ,θ)

$\theta, \lambda, \phi$ に関しては1量子ゲートのときと同じです。

Swap

Swap ゲートは以下で実装できます。

SWAP
swap

実装

以上のゲートを実装します。

CX ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().cx[0,1].m[:].run(shots=1000)
又は
c = Circuit().cx[0,1].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

CZ ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().cz[0,1].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

CRx ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().crx(math.pi/2)[0,1].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

CRy ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().crx(math.pi/2)[0,1].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

CRz ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().crz(math.pi/2)[0,1].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

CU1 ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().cu1(math.pi)[0,1].m[:].run(shots=1000)
又は
c = Circuit().cphase(math.pi)[0,1].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

CU2 ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().cu2(0,math.pi)[0,1].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

CU3 ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit
import math

c = Circuit().cu3(math.pi/2,0,math.pi)[0].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

Swap ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().swap[0,1].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'00': 1000})

3量子ゲート

3量子ゲートはCCX(Toffoli)ゲートのみあります。

CCX(Toffoli)

CCX ゲートは以下で実装できます。

CCX
ccx又はtoffoli

実装

以上のゲートを実装します。

CCX ゲート

sample.ipynb

from blueqat import Circuit

c = Circuit().ccx[0,1,2].m[:].run(shots=1000)
又は
c = Circuit().toffoli[0,1,2].m[:].run(shots=1000)

結果
Counter({'000': 1000})

まとめ

今回はblueqatを用いて全ゲートの関数を実装しました。
次回は2進数の和をblueqatで実装してみます。