問題
二項分布の平均が（2.11）であることを示せ。これには、正規化条件（2.264）の両辺を $\mu$ で微分し、変形して $n$ の平均を求めよ。同様に、（2.264）の両辺を $\mu$ について2階微分し、二項分布の平均（2.11）も用いて、二項分布の分散の結果（2.12）を証明せよ。
\begin{align*}
\ Bin(~m~ |~N, \mu) = \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right) \mu^m (1 - \mu)^{N - m}
\tag{2.9}
\end{align*}
\begin{align*}
\sum_{m = 0}^N \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right) \mu^m (1 - \mu)^{N - m} = 1
\tag{2.264}
\end{align*}
解答
\begin{align*}
\mathbb{E}[m] = \sum_{m = 0}^N m~Bin(~m~ | ~N, \mu) = N\mu
\tag{2.11}
\end{align*}
\begin{align*}
\ var[m] = N\mu(1 - \mu)
\tag{2.12}
\end{align*}
上式(2.11)及び(2.12)が成り立つことを示せばよい。
問題文に方針が書かれているのでその通りに計算していく。まず(2.264)を $\mu$ で微分してやると、
\begin{eqnarray}
\sum_{m = 0}^N \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right)\{ m \mu^{m - 1} (1 - \mu)^{N - m} - \mu^m (N - m)(1 - \mu)^{N - m - 1}\} & = & 0 \\
\sum_{m = 0}^N \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right) \mu^{m - 1} (1 - \mu)^{N - m - 1}(m - \mu N) & = & 0\\
\sum_{m = 0}^N m \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right) \mu^m (1 - \mu)^{N - m} & = & \mu N \sum_{m = 0}^N \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right) \mu^m (1 - \mu)^{N - m}
\end{eqnarray}
(2.264)より
\begin{align*}
\sum_{m = 0}^N m \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right) \mu^m (1 - \mu)^{N - m} = \mu N
\tag{2.4.1}
\end{align*}
よって、
\begin{align*}
\mathbb{E}[m] = N\mu
\tag{2.11}
\end{align*}
また、(2.4.1)をさらに $\mu$ で微分すると、
\begin{eqnarray}
\sum_{m = 0}^N m^2 \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right) \mu^m (1 - \mu)^{N - m} & = & \mu N(1 - \mu) + \mu N \sum_{m = 0}^N m \left(\begin{array}{c} N \\ m \end{array} \right) \mu^m (1 - \mu)^{N - m}\\
\mathbb{E}[m^2] & = & \mu N - \mu^2 N + \mu^2 N^2
\tag{2.4.2}
\end{eqnarray}
(2.11)と(2.4.2)から、
\begin{eqnarray}
\ var[m] & = & \mathbb{E}[m^2] - (\mathbb{E}[m])^2\\
& = & \mu N - \mu^2 N + \mu^2 N^2 - \mu^2 N^2\\
& = & N \mu(1 - \mu)
\end{eqnarray}
よって(2.12)が示された。