問題
(2.115)の結果を用いて(13.87)を証明せよ。
\begin {align*} \begin{array}{c} \int \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{n} \mid \mathbf{A} \mathbf{z}_{n-1}, \mathbf{\Gamma}\right) \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{n-1} \mid \boldsymbol{\mu}_{n-1}, \mathbf{V}_{n-1}\right) \mathrm{d} \mathbf{z}_{n-1} \\ =\mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{n} \mid \mathbf{A} \boldsymbol{\mu}_{n-1}, \mathbf{P}_{n-1}\right) \end{array} \tag{13.87} \end {align*}
参考
$\mathbf{x}$の周辺ガウス分布と、$\mathbf{x}$が与えられた時の$\mathbf{y}$の条件付きガウス分布が次式与えられたとする、
\begin {align*}
p(\mathbf{x})=\mathcal{N}\left(\mathbf{x} \mid \boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Lambda}^{-1}\right)
\tag{2.113}
\end {align*}
\begin {align*}
p(\mathbf{y} \mid \mathbf{x})=\mathcal{N}\left(\mathbf{y} \mid \mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{b}, \mathbf{L}^{-1}\right)
\tag{2.114}
\end {align*}
この時$\mathbf{y}$の周辺分布は
\begin {align*}
p(\mathbf{y})=\mathcal{N}\left(\mathbf{y} \mid \mathbf{A} \boldsymbol{\mu}+\mathbf{b}, \mathbf{L}^{-1}+\mathbf{A} \mathbf{\Lambda}^{-1} \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\right)
\tag{2.115}
\end {align*}
で与えられる。
解答
(13.87)において、
\begin {align*}
p(\mathbf{z}_{n} \mid \mathbf{z}_{n-1})=\mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{n} \mid \mathbf{A} \mathbf{z}_{n-1}, \mathbf{\Gamma}\right)
\tag{13.22.1}
\end {align*}
\begin {align*}
p(\mathbf{z}_{n-1})=\mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{n-1} \mid \boldsymbol{\mu}_{n-1}, \mathbf{V}_{n-1}\right)
\tag{13.22.2}
\end {align*}
と置くと、(13.87)の左辺は、
\begin {align*}
\int p(\mathbf{z}_{n} \mid \mathbf{z}_{n-1}) p(\mathbf{z}_{n-1})\mathrm{d} \mathbf{z}_{n-1} = p(\mathbf{z}_{n})
\tag{13.22.3}
\end {align*}
と変形できる。この時、(2.113)と(13.22.2)、(2.114)と(13.22.1)を見比べながら、
$\mathbf{z}_{n}$の周辺分布を(2.115)をもとにして考えると、
\begin {align*}
\begin{array}{c}
\int \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{n} \mid \mathbf{A} \mathbf{z}_{n-1}, \mathbf{\Gamma}\right) \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{n-1} \mid \boldsymbol{\mu}_{n-1}, \mathbf{V}_{n-1}\right) \mathrm{d} \mathbf{z}_{n-1} \\
=\mathcal{N}\left(\mathbf{z}_{n} \mid \mathbf{A} \boldsymbol{\mu}_{n-1}, \mathbf{P}_{n-1}\right)
\end{array}
\tag{13.87}
\end {align*}
を導くことができる。