嘘解法
$i$ 番目のラクダにかぶせる帽子を $b_i$ と書くことにします。$\{b_1、 b_2、 \cdots、 b_N\} = \{a_1、 a_2、 \cdots、 a_N\}$ です。
$b_i$ が満たす条件を列挙すると次のようになります。
\begin{align}
b_N \oplus b_2 &= b_1、 \\
b_1 \oplus b_3 &= b_2、 \\
\vdots &\\
b_{N-1} \oplus b_1 &= b_N
\end{align}
よって、すべてをXORすると、 $b_1 \oplus b_2 \oplus \cdots \oplus b_N = b_1 \oplus b_2 \oplus \cdots \oplus b_N \oplus b_1 \oplus b_2 \oplus \cdots \oplus b_N = 0$。
したがって $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_N = 0$。
これは必要条件にすぎず、たとえば、$N=4$ で $\{a_i\} = \{1、 1、 1、 1\}$ だと条件は満たしますが解はありません。
正しい解法
上の連立方程式をもう少し操作してみましょう。
まず、$b_1 \oplus b_3 = b_2$ の両辺に $b_3$ をXORすると、$b_1 = b_2 \oplus b_3$ となります。
これと $b_2 \oplus b_4 = b_3$ から、$b_1 = b_2 \oplus (b_2 \oplus b_4) = b_4$ となることがわかります。
同様にして、$b_2 = b_5 = \cdots$、$b_3 = b_6 = \cdots$ であることもわかります。したがって、$\{a_i\}$ に含まれる要素は高々3種類でなければなりません。以下、種類の数で場合分けをします。
3種類のとき
3つの要素を $a_1、 a_2、 a_3$ とおくと、$a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 = 0$ でなければなりません。また、$\{a_i\}$ に含まれる $a_1、 a_2、 a_3$ の個数は、すべて $N/3$ ずつでなければなりません。このことから、$N$ が3の倍数であることも必要になります。
以上の条件を満たすとき、最初の3頭に $a_1、 a_2、 a_3$ を配り、以後の3頭ずつにも最初に配った順番どおりに分配すればよいので、帽子の割り振り方は6通りあり、問いの答えになります。
2個のとき
2つの要素を $a_1、 a_2$ とおくと、$a_1 \oplus a_2 \oplus a_2 = 0$ または $a_1 \oplus a_1 \oplus a_2 = 0$ でなければなりません。したがって、どちらかは $0$ です。$a_1 = 0$ とすると、$a_1$ の帽子をもらったラクダの両隣には、$a_2$ の帽子をもらったラクダがいなければならないので、$\{a_i\}$ には $0$ が $N/3$ 個、$a_2$ が $2N/3$ 個なければなりません。このことから、$N$ が3の倍数であることも必要になります。
以上の条件を満たすとき、帽子の割り振り方は最初の3頭のうち誰が $0$ をもらうかで3通りあり、問いの答えになります。
1個のとき
言うまでもなく $\{a_i\}$ はすべて $0$ である必要があります。このときは、$N$ がいくつであっても問いの答えになります。
感想
嘘解法で通してすいませんでした。
強い人が「どうしたら全部XORって思いつくのかわかりません」と言っていてちょっと傷つくなど。