目的
機械学習の勉強を始めるにあたり学んだことをアウトプットとして記事にするのを目的とする
ゴールがないとダレてしまうのでデータ分析試験とG検定受験を目標に掲げてまずは頑張ることとする
###微分
微分とは接線の傾きをもとめることである
微分して求まった関数を導関数と呼び、その導関数に入れる値のことを微分係数と呼ぶ
微分係数を入れたあとに実際の求めたい値が得られることとなる
具体的には導関数は以下の式で表される
$$
f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
これに例えば$1$の微分係数を入れると
$$
\begin{eqnarray}
f’(1) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(1)-f(1)}{h} \
&=& \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \
&=& \lim_{h \to 0} 0 \
\end{eqnarray}
$$
$f’(1)=0$
$x$の微分係数を入れると
$$
\begin{eqnarray}
f’(x) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \
&=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h-x)}{h} \
&=& \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \
&=& \lim_{h \to 0} 1 \
\end{eqnarray}
$$
$f’(x)=1$
$x^2$の微分係数を入れると
$$
\begin{eqnarray}
f’(x)^2 &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)^2-f(x)^2}{h} \
&=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x^2+2xh+h^2-x^2)}{h} \
&=& \lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} \
&=& \lim_{h \to 0} 2x+h \
\end{eqnarray}
$$
$h→0$より$h=0$を代入し
$f’(x)^2=2x$
- よくある間違いとして$x$に$x^2$を代入しようとして$f(x^2+h)$となってしまうことがある。
- $x$に$x^2$を代入するのではなく$(x+h)$に$x^2$を代入するので$(x+h)^2$というように全体を2乗する必要があることに注意
なぜこのような間違いが多いかというとおそらくだが分子の$f(x+h)-f(x)$という式がそもそもyの増加量を表していたということがピンときていないためだと思う。
仮に微分係数を2とした場合は2→2まで増加する(＝yの増加量は0という意味)ので導関数の式の分子は必ず0になることからx軸がいくら増えようがyは0なのである
この時グラフを思い描くと傾きは0になると考えると理解しやすいと思われる
上記をまとめると次の公式が得られる
以後微分はこの公式を使っていく
| 微分係数 | 導関数 |
|---|---|
| 1 | 0 |
| $x$ | 1 |
| $x^2$ | $2x$ |
| $x^n$ | $nx^{n-x}$ |
| $\log x$ | $$\frac{1}{x}$$ |