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問題
以下の微分方程式の一般解を求めよ．
\begin{align}\tag{1}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=xy^3.
\end{align}
ポイント
- $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$ の形はベルヌーイの微分方程式 と呼ばれます．ベルヌーイの微分方程式は次の手順で解くことが出来ます．
- STEP1. 両辺を $y^n$ で割る
- STEP2. $y^{1-n}=u$ とおき，STEP1で得られた式を， $x$ に関する $u$ の一階線形微分方程式に書き換える．
- STEP3. 新たな微分方程式を解き，$u(x)$ を求めたら $y(x)$ に変換する．
- ベルヌーイの微分方程式については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．
解説
ポイントにある STEP 通り変形していきます．
STEP1 両辺を $y^n$ で割る
$y^n\neq 0$ のとき，式(1)の両辺を $y^3$ で割ったものは以下の通りです．
\begin{align}\tag{2}
y^{-3}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y^{-2}=x.
\end{align}
STEP2. $y^{1-n}=u$ とおき，STEP1で得られた式を， $x$ に関する $u$ の微分方程式に書き換える．
$y^{-2}=u$ とおきましょう．これからの目的は，式(2)の左辺第一項 $y^{-3}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ すらも $u$ と $x$ で置き換えることです．$u$ も $x$ の関数であることに注意して，$y^{-2}=u$ の両辺を $x$ で微分すると次の関係が得られます．
\begin{align}\tag{3}
\dfrac{\mathrm{d}(y^{-2})}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\\
-2y^{-2-1}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\\
\therefore y^{-3}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{1}{2}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.
\end{align}
少々難しいですが，1行目から2行目への左辺の変形では，合成関数の微分 $\left\{f(g(x))\right\}^\prime = f^\prime(g(x))g^\prime(x)$ および $(x^\alpha)^\prime=\alpha x^{\alpha -1}$ を用いました．
さて，有難いことに式(3)では， 欲しかった $y^{-3}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ の形が現れましたね．
式(3) の結果および $y^{-2}=u$ を式(2)に代入すると，次の一階線形微分方程式を得ます．
\begin{align}\tag{4}
-\frac{1}{2}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+2u=x,\\
\therefore \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-4u=-2x.\\
\end{align}
STEP3. 新たな微分方程式を解き，$u(x)$ を求めたら $y(x)$ に変換する．
式(4)は単純な一階線形微分方程式ですから，解の公式でサクッと解を求めてしまいましょう．もちろん，変数変化法や積分因子を用いる方法で求めても良いです．解の公式は【参考1】 をご覧ください．
さて，式(4)において，$P(x)=-4$, $Q(x)=-2x$ として公式を適用すれば，
\begin{align}\tag{5}
u&=e^{-\int -4\mathrm{d}x}\left[ \int -2xe^{\int -4\mathrm{d}x}\mathrm{d}x +C\right]~~~(C:任意定数),\\
u&=e^{4x}\left[ -2\int xe^{-4x}\mathrm{d}x +C\right],\\
u&=e^{4x}\left[ -2 \left(-\frac{1}{4}xe^{-4x}-\frac{1}{16}e^{-4x}\right)+C\right],\\
u&=e^{4x}\left[ \frac{1}{2}xe^{-4x}+\frac{1}{8}e^{-4x}+C\right],\\
\therefore u&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+Ce^{4x}.\\
\end{align}
$y^{−２}=u$ とおいたことを思い出して，変形を行っていきましょう．
\begin{align}\tag{6}
y^{-2}&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+Ce^{4x},\\
\frac{1}{y^2}&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+Ce^{4x},\\
y^2&=\frac{1}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+Ce^{4x}},\\
y^2&=\frac{8}{4x+1+8Ce^{4x}}~~~(C:任意定数).
\end{align}
【参考1】 一階線形微分方程式の公式
\begin{align}\tag{7}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x),
\end{align}
の解の公式は次のとおりです．
\begin{align}\tag{8}
y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x +C\right]~~~(C:任意定数).
\end{align}
【参考2】 瞬間部分積分
部分積分は，俗に言う瞬間部分積分と呼ばれるもので暗算しています．
（まともに計算をしても良いのですが，$\LaTeX$ で書くのが面倒だったのもあります．）
\begin{align}
\int f(x)g(x)\mathrm{d}x &= f^{(0)}g^{(-1)}-f^{(1)}g^{(-2)}+\cdots\\
\int x\times e^{-4x}\mathrm{d}x &=-\frac{1}{4}xe^{-4x}-\frac{1}{16}e^{-4x} +C
\end{align}
詳しくは，ヨビノリさんの動画をご参照ください．
【参考3】 Wolframalpha
非常に便利なので，積極的に使っていきましょう．