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問題
$n\neq 0,1$ とするとき，次の微分方程式は ベルヌーイの微分方程式 と呼ばれる．
\begin{align}\tag{1}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n.
\end{align}
以下の手順に従い，ベルヌーイの微分方程式は，適切な置換により一般線形微分方程式に帰着できる ことを確認せよ．
STEP1. 両辺を $y^n$ で割る
STEP2. $y^{1-n}=u$ とおき，STEP1で得られた式を， $x$ に関する $u$ の微分方程式に書き換える．
【参考】 一階線形微分方程式
\begin{align}\tag{2}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).
\end{align}
ポイント
- $y^{1-n}=u$ とおいたわけですから，$u$ も $x$ の関数であることに注意しまししょう．
- ベルヌーイの微分方程式については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．
解説
誘導通り変形していきます．
STEP1 両辺を $y^n$ で割る
$y^n\neq 0$ のとき，式(1)の両辺を $y^n$ で割ったものは以下の通りです．
\begin{align}\tag{3}
y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y^{1-n}=Q(x).
\end{align}
STEP2. $y^{1-n}=u$ とおき，STEP1で得られた式を， $x$ に関する $u$ の微分方程式に書き換える．
式(3) を眺めてみると， 左辺第一項 $y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ が厄介ですね．
今回は丁寧に誘導がついているので，$y^{1-n}=u$ の両辺を $x$ で微分し，$y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ の形が現れることを祈りましょう（この分野では変数変換と微分は基本セットです）．
$y^{1-n}=u$ とおいたわけですから，$u$ も $x$ の関数であることに注意して，次のように微分を行います．
\begin{align}\tag{4}
\dfrac{\mathrm{d}(y^{1-n})}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\\
(1-n)y^{1-n-1}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\\
\therefore y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{1-n}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\\
\end{align}
少々難しいですが，1行目から2行目への左辺の変形では，合成関数の微分 $\left\{f(g(x))\right\}^\prime = f^\prime(g(x))g^\prime(x)$ および $(x^\alpha)^\prime=\alpha x^{\alpha -1}$ を用いました．
さて，有難いことに式(4)では，求めていた $y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ の形が現れましたね．
式(4) および $y^{1-n}=u$ を式(3)に代入すると，次のようになります．
\begin{align}\tag{5}
\frac{1}{1-n}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+P(x)u=Q(x).
\end{align}
やりましたね！これは一階線形微分方程式です．わかりにくいよって方は，両辺に $1-n$ をかけてみましょう．
\begin{align}\tag{6}
\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x).
\end{align}
$(1-n)P(x)$ や $(1-n)Q(x)$ は $x$ の関数ですから，紛れもなく式(5)および式(6)は一般線形微分方程式です．
【補足】 n=0 のときと n=1 のとき
本問では $n\neq 0, 1$ としていましたが，実はどちらも一階線形微分方程式となります．
- $n=0$ のとき
式(1)に $n=0$ を代入すると，$y^n=y^0=1$ ですから，式(1)は次のようになります．
\begin{align}\tag{7}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).
\end{align}
これはただの一階線形微分方程式です．
- $n=1$ のとき
式(1)に $n=1$ を代入すると，
\begin{align}\tag{8}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y&=Q(x)y,\\
\therefore \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left\{P(x)-Q(x)\right\}y&=0,\\
\end{align}
と変形できますから，これは一階線形微分方程式と扱ってもいいですし，変数分離形とも言えます．