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解の公式の証明(統計学を理解するための高校数学理解の一歩)

はじめに

機械学習分野の数学を文系人間がゼロから頑張ろうとすると、まず高校数学が課題になります。
二次関数でさえ、すでに逃げたくなるレベルで難しい要素が出てきます。
特に解の公式の証明などを各サイトで見ると、唐突な割り算などが多く、ますます数学が嫌いになります。
そこで、高校数学の理解の第一歩として、解の公式の証明をなるべく省略せず、わかりやすく書いてみました。

解の公式の最終目標

$ ax^2 + bx + c = 0 $を$ x = ? $の形にすること

平方完成(途中で必要な概念)

平方完成の目的

ax^2 + bx + c = 0  \\

のうちの、

x^2 + bx

(x + α)^2 + β

にすることを考える。

式の展開

(x + α)^2 + β

を展開すると、

x^2 + 2αx + α^2 + β

となる。

以下の2つの式の、xの係数が同じ部分を見比べる。

\begin{align}
1)\  & x^2 + bx \\
2)\  & x^2 + 2αx + α^2 + β
\end{align}

係数x^2の部位

どちらも$ x^2 $

係数xの部位

2αx = bx

なので、

\begin{align}
2α &= b  \\
α &= \frac{b}{2}  \\
\end{align}

係数xがない部位

1) には存在しないので0と等しいと考える。

α^2 + β = 0

の等式になる。
これを解く。

\begin{align}
α^2 + β &= 0  \\
β &= -α^2  \\
&= -(\frac{b}{2})^2  \\
\end{align}

当てはめる

αとβをそれぞれ当てはめる。

\begin{align}
x^2 + bx
&= (x + α)^2 + β \\
&= (x + \frac{b}{2})^2 -(\frac{b}{2})^2
\end{align}

解の公式の証明を行う

平方完成を使う

ax^2 + bx + c = 0

xの係数をaでくくる ($ a \times \frac{b}{a} = b $なのでbをaで割る)

a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = 0

$ (x^2 + \frac{b}{a}x) $を平方完成して$ (x + α)^2 + β $の形にする。
先ほどの平方完成の公式を当てはめる

a\{(x + \frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2\} + c = 0

定数項の移行、通分する

大かっこを外す
※ちなみに、$ a(\frac{b}{2a})^2 = a(\frac{b^2}{4a^2}) = \frac{b^2}{4a}$

a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0

左辺のxの係数のない項を右辺に移項する

a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c

右辺の項目を通分する

\begin{align}
a(x + \frac{b}{2a})^2
&= \frac{b^2}{4a} - \frac{4ac}{4c} \\
&= \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\
\end{align}

二次式を一次式にする

両辺をaで割る

\begin{align}
\frac{1}{a} \times a(x + \frac{b}{2a})^2 &= \frac{1}{a} \times \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\
(x + \frac{b}{2a})^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
\end{align}

両辺とも平方根を取る(二次式は一次式になる、一次式は平方根を取る)

x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

$ 4a^2 $ は2aの二乗なので平方根を外せる

x + \frac{b}{2a} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

左辺の$ \frac{b}{2a} $を右辺に移項する

x  = -\frac{b}{2a} \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

左辺を通分して完成

x  = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

課題

  • 数式を「```math」で囲った場合でも左寄せにする方法がわからなかった
  • 省略しないで書いたつもりですが、よくわからないところがありましたら質問ください。(こうしたほうがいいなども歓迎です)
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