1. 中心極限定理の基本概念
中心極限定理とは？
中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）は、確率論と統計学における重要な定理で、ランダムな現象を理解する上で不可欠な概念です。中心極限定理は、どのような分布を持つデータであっても、その和や平均がサンプルサイズが十分に大きいときに正規分布に近づくというものです。
簡単に言えば、多くの独立したランダムな要因が合わさると、その結果として生じる分布が正規分布（ガウス分布）に近づく、ということです。
定理の形式的な説明
中心極限定理をもう少し数学的に表現すると、次のようになります：
- ある母集団から得られた独立で同一の確率分布に従うランダム変数 ( X_1, X_2, \dots, X_n ) があるとします。
- 各変数の期待値（平均値）を μ、分散を σの2乗 とします。
- これらの変数の標本平均を
$$
( \overline{X}_n )
$$としたとき、標本平均
$$
( \overline{X}_n )
$$
は n が大きくなるにつれて、平均 μ、分散
$$
( \frac{\sigma^2}{n} )
$$
の正規分布に近づきます。
つまり、どのような母集団からサンプルを取っても、標本平均の分布はサンプルサイズが大きくなると正規分布に近似されるということです。
$$
\frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{n \to \infty} N(0, 1)
$$
ここで
$$
\ N(0, 1)
$$
は平均0、分散1の標準正規分布を意味します。
2. 中心極限定理の直感的理解
中心極限定理を直感的に理解するためには、次のような例を考えると分かりやすいです。
サイコロの例
サイコロを1回振ると、出る目は1から6のいずれかで、これは一様分布に従います。このとき、サイコロを1回だけ振った結果が正規分布に従うわけではありません。
しかし、サイコロを何回も振って、その結果の平均を取るとどうなるでしょうか？サイコロを何度も振ってその結果の平均を求めたものをサンプルとして集めていくと、その平均値の分布は、サイコロを振る回数が多くなるにつれて正規分布に近づいていきます。
これが中心極限定理の基本的な考え方です。多くの独立したランダムな出来事が集まると、その平均は正規分布に従うようになるのです。
実生活での例
例えば、ある街での1日の平均気温や、工場で製造される製品の重さのばらつきなど、様々な要因が組み合わさって決まる現象においても、中心極限定理が適用されます。これにより、複雑な要因が絡み合う結果として、観測されたデータの平均が正規分布に従うことが多くなります。
3. 中心極限定理の重要性
統計学での応用
中心極限定理は、統計学において非常に重要な役割を果たします。例えば、標本平均が正規分布に従うという性質は、統計的推測の基礎となります。具体的には、信頼区間や仮説検定など、多くの統計手法がこの定理に依存しています。
- 信頼区間：サンプル平均が正規分布に従うため、母集団の平均値の推定に対して信頼区間を設定することが可能です。
- 仮説検定：観測データがある仮説にどれだけ一致しているかを検定する際、標本平均の分布が正規分布に近いことを前提にして計算が行われます。
他の分布への適用
中心極限定理は、正規分布に限らず、多くの統計的分布にも応用されます。例えば、二項分布やポアソン分布のような離散的な分布でも、サンプルサイズが十分に大きければその平均が正規分布に近づきます。これにより、複雑な分布を正規分布という単純な形で近似することができるのです。
4. 中心極限定理の条件と限界
条件
中心極限定理が成立するためには、いくつかの条件があります。
- 独立性：データは互いに独立である必要があります。つまり、あるデータが他のデータに影響を与えないことが重要です。
- 同一分布：各データが同じ確率分布に従っていることが前提です。
- サンプルサイズ：サンプルサイズが十分に大きいことが必要です。一般に、サンプルサイズが大きいほど、正規分布への近似が良くなります。
限界
- 小サンプルサイズ：サンプルサイズが小さい場合、中心極限定理が適用できないことがあります。この場合、標本平均の分布が正規分布に従わない可能性があります。
- 強い依存関係：データ間に強い依存関係がある場合、中心極限定理が成り立たないことがあります。例えば、時系列データや空間的に依存するデータなどがその例です。
5. まとめ
中心極限定理は、統計学や確率論において非常に強力で重要な定理です。どのような分布から得られたデータであっても、その平均がサンプルサイズの増加に伴い正規分布に近づくという性質は、実世界の多くの現象を理解する上で役立ちます。この定理は、統計的推測の基礎となり、多くの応用が可能です。ただし、適用には条件があり、サンプルサイズやデータの独立性などの要因に注意する必要があります。