1. 正規分布のもとになる微分方程式について
微分方程式の幾何学的意味
$$
\ f'(x) = -\frac{x - \mu}{\sigma^2} f(x)
$$
この微分方程式は、正規分布の確率密度関数 f(x) がどのように変化するかを記述しています。具体的には、データ点 x が平均 μ からどれだけ離れているかに応じて、確率密度 f(x) の変化率が決定されます。この方程式が示しているのは、正規分布の曲線が平均値に向かって左右対称に変化する様子です。
- 左右対称性: 方程式の構造により、曲線は平均 μ を中心に左右対称な「ベル型」の形状を持ちます。
- 変化の割合: 曲線の傾き（勾配）は、データ点が平均からどれだけ離れているかに比例し、平均値から遠ざかるほど急激に変化します。
2. なぜ標準偏差が選ばれるのか
絶対偏差との比較
絶対偏差は偏差の絶対値の平均であり、外れ値の影響を抑えた評価を行うことができますが、解析的に扱いにくい点があります。絶対値を使った関数では、偏差が正か負かによって勾配が異なり、特定の点（例：平均値）では微分が不連続になるため、数学的解析が難しくなります。
絶対値関数の微分
絶対値関数 |x - μ| を微分すると、次のようになります：
$$
\frac{d}{dx}|x - \mu| = \begin{cases}
1 & \text{if } x > \mu \
-1 & \text{if } x < \mu \
\text{undefined} & \text{if } x = \mu
\end{cases}
$$
このように、勾配が正負で不連続に変化し、ある点で微分が定義されない問題が生じます。
標準偏差の利点
標準偏差は、偏差の二乗の平均の平方根として定義されます。この計算方法により、全域で連続的で滑らかな関数が得られます。具体的には、次のように微分可能です：
$$
f(x) = (x - \mu)^2
$$
この関数を微分すると：
$$
f'(x) = 2(x - \mu)
$$
この場合、勾配は全域で連続的に変化し、微分可能です。標準偏差に基づく関数は、数学的に扱いやすく、特に統計解析や確率密度関数の解析において便利です。
標準偏差が選ばれる理由
標準偏差が選ばれる理由は、以下の点に集約されます：
- 微分可能性: 標準偏差に基づく関数は、全域で滑らかであり、微分可能です。これにより、数学的解析が容易になります。
- 対称性の維持: 標準偏差は正負の偏差を等しく扱い、正規分布の左右対称性を正確に反映します。
- 解析的便利さ: 標準偏差は、分布のばらつきを測定する際に最適な指標であり、統計学的に多くの利点を提供します。
3. まとめ
標準偏差は、正規分布をはじめとする多くの確率分布の数学的特性を正確に反映するために選ばれています。絶対偏差も有用な指標ではありますが、数学的な解析においては標準偏差の方が便利であり、解析がしやすいため広く用いられています。特に、正規分布の解析では、標準偏差がデータのばらつきを最適に表現する指標であるため、この微分方程式にも採用されています。